Hogyan kell kiszámolni?

A rajzon lévő felállás bizonyára az, hogy mekkora a(t) gyorsulással kell a lejtőt mozgatni jobbra, hogy a test a helyén maradjon. Ez egy viszonylag egyszerű feladat, de ha jól értem nem azt kell megoldani, hanem azt, hogy kezdetben minden nyugalomban van, aztán a lejtő szabadon elcsúszhat, miután elengedjük rajta az m testet.

A test 'a' gyorsulással fog mozogni, aminek két komponense az ax vízszintes jobbra és ay függőleges lefelé gyorsulások.

A lejtő 'A' gyorsulással fog balra mozogni.

A testre N nyomóerő hat a lejtőn merőlegesen. Persze ugyanekkora erővel nyomja a test is a lejtőt. (Ez a nyomóerő NEM azonos m·g·cos α-val, kevesebb annál, mert a mozgó lejtő mindig kicsúszik a test alól. Olyan, mint hogy egy zuhanó lift is a súlyunknál kisebb erővel tart minket.)

A lejtőre ható vízszintes erőkomponens:

(1) M·A = N·sin α

A testre ható erők függőleges és vízszintes komponensei:

(2) m·ay = m·g − N·cos α

(3) m·ax = N·sin α

Érdekesség: Az, hogy m·ax = M·A, azt is jelenti, hogy m·ax·t = M·A·t, vagyis a test és a lejtő vízszintes irányú impulzusa megegyezik (persze ellentétes irányúak), vagyis a rendszer eredő impulzusa továbbra is 0 (vízszintesen), mint mielőtt elengedtük volna a testet. Ez szükséges dolog, hisz nem hat a rendszerre vízszintes külső erő.

Három egyenletünk van és 4 ismeretlen (ax, ay, A, N). A gyorsulások között még fel tudunk írni összefüggést azért, mert a test végül is a lejtő mentén fog mozogni. Ha a lejtő koordináta-rendszerébe képzeljük magunkat, akkor a test A+ax gyorsulással mozog jobbra és ay-nal lefelé. A megtett utak (A+ax)·t²/2 és ay·t²/2. Az eredő út a lejtőn van, tehát ezeknek a hányadosa tg α:

(4) ay/(A+ax) = tg α

Megvan a 4 egyenlet. (4)-be helyettesítve az első 3-ból kifejezett gyorsulásokat:

(g − N/m·cos α) / (N/M·sin α + N/m·sin α) = tg α

(g/N − 1/m·cos α) / ((1/M + 1/m)sin α) = tg α

(m·M·g/N − M·cos α) / ((m + M)sin α) = tg α

m·M·g / N = M·cos α + (m + M)sin² α / cos α

m·M·g·cos α / N = M·cos²α + (m + M)sin² α = M + m·sin²α

m·M·g·cos α / (M + m·sin²α) = N

(1)-ből:

A = g·sin α·cos α · m / (M + m·sin²α)

(3)-ból:

ax = g·sin α·cos α · M / (M + m·sin²α)

(2)-ből:

ay = g·(1 − cos²α · M / (M + m·sin²α) )