Valaki segítene nekem a matekban?

Ki kell használnunk azt, hogy ezek egy négyzet paraméterei; tudjuk, hogy a négyzet átlói és az egyik oldal derékszögű háromszöget határoznak meg, és ennek a háromszögnek a derékszögből kiinduló magasságvonala merőleges a négyzet oldalára. Ebben a háromszögben a derékszög a K(1;1) pontnál van. Ezek miatt első lépésként írjuk fel a magasságvonal egyenes egyenletét.

A megadott egyenes normálvektora: n(2;-1), ebből az irányvektora: v(1;2), ez lesz a magasságvonal egyenes egyenletének normálvektora. Ezek alapján a magasságvonal egyenes egyenlete (ami átmegy a K ponton): x+2y(=1+2)=3. Most számoljuk ki az oldal és a magasságvonal metszéspontját, tehát tegyük kétismeretlenes egyenletrendszerbe az egyenes egyenleteket:

I. y=2x+4 }

II. x+2y=3 }

Helyettesítsünk be y helyére a II.-ba:

x+2(2x+4)=3

x+4x+8=3

5x=-5

x=-1, ebből y=2.

Jelöljük T-vel a két egyenes metszéspontját: T(-1;2).

Tudjuk (mondjuk a Thalesz-tételből), hogy a T pont ugyanolyan messze van az A és a D pontoktól, mint a K ponttól. Nézzük meg T és K távolságát: gyök((1-(-1))^2+(1-2)^2)=gyök(4+1)=gyök(5)

Most azok a pontok kellenek, amik a T ponttól gyök(5) távolságra vannak, és rajta vannak az y=2x+4 egyenesen, ezért a T középpontú kör és az AD oldal egyenes metszéspontjai kellenek:

I. y=2x+4 }

II. (x+1)^2+(y-2)^2=5 }

Helyettesítsünk y helyére a II.-ban:

(x+1)^2+(2x+4-2)^2=5

x^2+2x+1+4x^2+8x+4=5

5x^2+10x=0

x^2+2x=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletéből: x1=0 és x2=-2, ezekből y1=4 és y2=0

Tehát az A pont a (0;4) pont, a másik a (-2;0) pont.

Ellenőrzés:

Tudjuk, hogy az AK és a DK szakaszok a négyzet átlóinak felei, ráadásul derékszöget zárnak be egymással, és az AD szakasszal derékszögű háromszöget alkotnak, ezért felírható a Pitagorasz-tétel:

AK hossza: gyök((1-0)^2+(1-4)^2)=gyök(10)

DK hossza: gyök((1-(-2))^2+(1-0)^2)=gyök(10)

AD hossza: gyök((-2-0)^2+(0-4)^2)=gyök(20)

Pitagorasz-tétel:

AK^2+DK^2=AD^2

gyök(10)^2+gyök(10)^2=gyök(20)^2

10+10=20, ami igaz.

Tehát a négyzet két pontja: A(0;4) és D(-2;0)

Lehet, hogy a haladási irány miatt fordítva vannak a betűk, de a feladat megoldásának szempontjából érdektelen. Megjegyezhetjük még, hogy a másik két pont is kiszámolható (valamivel egyszerűbben, mint ezeket a pontokat számoltuk ki).

Ha vannak még feladatok, jöhetnek, akár privátban is! ;)