Határozza meg azon pontok halmazát a síkon amelyekből az x2+y2-2x-2y+1=0 és az x2+y2-4x-10y+25=0 egyenletű körökhöz húzott érintő szakaszok hossza megegyezik?

- A Pitagorasz-tétel segítségével gondold végig: egy pontból egy körhöz húzott érintőszakasz négyzete d^2-r^2, ahol d a pont távolsága a kör középpontjától, r pedig a kör sugara.

- Olvasd le a két adott kör középpontját és sugarát:

az első kör esetén a középpont (1,1) és a sugár 1,

a második kör esetén a középpont (2,5) és a sugár 2.

- A sík valamely (x,y) koordinátájú pontjának távolság-négyzete az első kör középpontjától (x-1)^2+(y-1)^2, a második kör középpontjától (x-2)^2+(y-5)^2.

- Tehát felírva az első pontban kapott összefüggést az (x,y) pontból a két körhöz húzott érintőszakasz hosszára, és ezeket egyenlővé téve kapjuk:

(x-1)^2+(y-1)^2-1=(x-2)^2+(y-5)^2-4,

innen a műveletek elvégzése után

-2x-2y+1=-4x-10y+25,

2x+8y=24,

x+4y=12

egyenletű egyenest kapjuk, ez a keresett ponthalmaz.

Vegyük észre: az utolsó pontban tulajdonképpen a körök egyenleteinek bal oldalát kellett egyenlővé tennünk. Ez általában is így van: az így kapott egyenest hívjuk a két kör hatványvonalának.