A het torpe ul egy asztal korul Hofeherkere varva. Mindegyikuknek van egy pohara, minden pohar ugyanakkora es tejet keszulnek inni belole. Van akinek a poharaban mar van tej. Segitenetek meghatarozni kinek mennyi tej van a poharaban?

Három liternek a heted része

(mert törpe hét volt)

6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, 1/7, 0

Ezeknek az összege éppen 3. (számtani sor, számold ki)

Amikor az első szétosztja a magáét, a többi 6 mind kap 1/7-et, ezért utána a másodiknak lesz 6/7. Akkor az osztja szét, mindenki kap 1/7-et, a harmadiknak lesz 6/7-je. Stb. Minden lépésben aki széttölt, az 6/7-et tölt szét, és mindenki 1/7-et kap, így a végén ugyanannyija lesz, mint induláskor.

Frappánsan nem tudom levezetni, csak így lépésről lépésre, de az látszik így is, hogy nincs más megoldás:

Az elsőnek van x, a másodiknak y.

1. lépés után: 0, x/6 + y

2. lépés után: (x/6 + y)/6, 0

Ez után a többitől mindannyian kapnak egyformán valamennyit, és ekkor a másodiknak y lesz. Vagyis a többi öttől éppen y-t kapnak mindketten. Az elsőnek ezzel ennyi lesz:

(x/6 + y)/6 + y

És ez éppen x

x = (x/6 + y)/6 + y

36x = x + 6y + 36y

35x = 42y

x/y = 6/5

Vagyis az elsőnek van 6 egység (6e), a másodiknak 5 egység (5e).

A harmadiknak kezdetben van z:

Az első háromnak van kezdetben: 6e, 5e, z

1. lépés:

- a második kap az elsőtől 6e/6-ot, vagyis 1e-t, lesz neki 6e.

- a harmadik kap az elsőtől 1e-t, lesz z+e

2. lépés:

- az első kap a másodiktól 1e-t, lesz neki 1e

- a harmadik kap a másodiktól 1e-t, lesz neki z+2e

3. lépés:

- az elsőnek lesz ... nem számít

- a másodiknak lesz (z+2e)/6

- a harmadiknak lesz 0

Aztán a többi 4-től a harmadik pontosan z-t kell kapjon, és persze a második is annyit kap (meg az első is, de az már nem számít). A másodiknak ennyi lett:

(z+2e)/6 + z = 5e

7z + 2e = 30e

z = 4e

Szóval eddig tudjuk az első 3 poharának a tartalmát kezdetben:

6e, 5e, 4e

Ugyanígy folytathatjuk a többi törpével is:

A negyediknek van kezdetben v:

kezdetben:     6e, 5e, 4e, v

1. lépés után: 0, 6e, 5e, v+e

2. lépés után: 1e, 0, 6e, v+2e

3. lépés után: 2e, 1e, 0, v+3e

4. lépés után: .., .., (v+3e)/6, 0

Ezek után még mind a négy kap v-t:

(v+3e)/6 + v = 4e → v=3e

Az ötödiknek van kezdetben w:

kezdetben:     6e, 5e, 4e, 3e, w

1. lépés után: 0, 6e, 5e, 4e, w+e

2. lépés után: 1e, 0, 6e, 5e, w+2e

3. lépés után: 2e, 1e, 0, 6e, w+3e

4. lépés után: 3e, 2e, 1e, 0, w+4e

5. lépés után: .., .., .., (w+4e)/6, 0

Ezek után még mind a négy kap w-t:

(w+4e)/6 + w = 3e → w = 2e

A hatodikat nem írom le, ugyanígy lesz 1e, a hetediknek meg persze 0.

Összesen mindez 21e, ami 3 liter, vagyis e=1/7 liter.

Na itt most i-vel, meg j-vel meg (i+1), (i+2) ...(i+7) meg hasonlókkal indexeket fogok jelölni.

Nézzük mi van akkor ha a 7. leosztás után folytatják a töltögetést.

Nyilván a poharakban lévő tej mennyisége ciklikus lesz, Az i. széttöltés után ugyanaz lesz mint az i+7. után.

Legyen xi az i. széttöltésnél széttöltesre kerülő tej mennyisége.

Ekkor nyilván xi is ciklikus és x(i+7)=xi.

Legyen X az xi értékek minimuma.

Ilyen nyilván van, hiszen maximum 7 különböző xi lehet.

Legyen j egy olyan index amire xj=X

a j. lépésben széttöltjük ezt az xj-t, és 6 újabb szétosztás után megint X lesz a pohárban. Minden újabb széttöltés ből 1/6 részt kapott:

X=x(j+1)/6 + x(j+2)/6+...+x(j+6)/6 ≥ X/6+X/6+...+X/6 = 6X/6 = X

Vagyis X≥X és az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha minden i-re xi=X.

Na akkor nézzük megint az eredeti tej eloszlást a poharakban:

Az első pohárban X volt mert ez fog széttöltésre kerülni.

A másodikban (5/6)X, mert ez lesz a következő vagyis (1/6)X hozzáadásával X-nek kell lennie benne.

A gondolatmenetet folytatva eredetileg a poharakban a tej mennyisége:

X, (5/6)X, (4/6)X, (3/6)X, (2/6)X, (1/6)X, 0

Ezek összege 3, vagyis

(21/6)X=3

X=6/7

Tehát a poharakban eredetileg volt:

6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, 1/7, 0

Direkt számolásos megoldás:

Egy munkatársam úgy csinálta, hogy írt egy programot, ami szimulálja a töltögetést. Aztán az első pohárba tette a 3 litert, a többibe semmit, és lejátszotta a 7 töltögetést. De itt nem állította le a programot, hanem tovább ment még néhányszor 7 töltögetésnyit, és nemsokára konvergált az egész a megoldáshoz :) Szóval ha jól emlékszem a nyolcadik 7-es menet után a poharakban már a 6/7, 5/7, 4/7 stb. mennyiségek voltak.

Ha az utolsóba rakta induláskor a 3 liter tejet, akkor is konvergált. Ha mindegyikbe 3/7 litert rakott, akkor is konvergált.

Praktikus ember :)