Melyek azok a pozitiv szamokbol allo sorozatok, amelyekre n-et tetszolegesen valasztva igaz az alabbi egyenloseg?

A triviális megoldás az, hogy mindegyik szám nulla. A "pozitív szám" fogalmába a 0 nem tartozik bele, úgyhogy nem ezt illetve nem ilyeneket keresünk.

n=1 esetén: a₁³ = a₂³ → a₁ = 1

n=2 esetén: 1³+a₂³ = (1+a₂)² → a₂ = 2 az egyetlen pozitív megoldás

n=3 esetén: 1³+2³+a₃³ = (1+2+a₃)² →a₃ = 3 az egyetlen pozitív megoldás

stb.

Az a megérzésem, hogy aᵢ = i az egyetlen megoldás. Bizonyítsuk be teljes indukcióval:

n=1 esetén igaz (sőt, az előbb láttuk, hogy 2 és 3 esetén is)

Tegyük fel, hogy n=i-re igaz, hogy aᵢ = i, vagyis az

1³+2³+...+(i-1)³ + aᵢ³ = (1+2+...+ i-1 + aᵢ)²

egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, ez: aᵢ=i

Nézzük i+1-re. Az egyenlet: (Az egyszerűség kedvéért aᵢ₊₁-et egyszerűen a-nak írom)

1³+2³+...+i³ + a³ = (1+2+...+i+a)²

A bal oldal az indukciós feltevés miatt = (1+2+...+i)² + a³

A jobb oldal = (1+2+...+i)² + 2·(1+2+...+i)·a + a²

A négyzetes tag kiejti egymást:

a³ = 2·(1+2+...+i)·a + a²

A zárójelben a számtani sorozat összege i(i+1)/2:

a³ = i·(i+1)·a + a²

a² = i·(i+1) + a

a(a-1) = i·(i+1)

Ennek egyetlen pozitív megoldása van: a = i+1 (a másik gyöke a = -i)

Vagyis az állítás teljesül i+1-re is, ezzel a sejtét bebizonyítottuk.

---

Megjegyzés: Vagy ismeri az ember, vagy könnyen rátalál arra, hogy az első n köbszám összege:

  n

  Σ k³ = (n(n+1)/2)²

k=1

ami pedig éppen egyenlő (Σk)²-tel. Vagyis a feladat egyik megoldása az aᵢ=i sorozat. Viszont ez nem bizonyítja azt, hogy nincs másik megoldás is! Ezért kellett a fenti bizonyítást végigcsinálni.