Az ABCD trapezban az atlok O metszespontjan at meghuzzuk az alapokkal parhuzamos MN||AB||CD egyenest, M eleme AD, N eleme BC. Mennyi a hossza MO-nak es MN-nek az AB es CD fugvenyeben?

Mivel ABD és OMD hasonló háromszögek,

MD/AD=OM/AB.

Mivel ADC és AMO hasonló háromszögek,

AM/AD=OM/CD.

A két egyenlőséget összeadva a baloldalon

(MD+AM)/AD=AD/AD=1

áll, tehát

OM/AB+OM/CD=1, vagyis

1/OM=1/AB+1/CD.

Hasonló számolást végezhetünk el a másik száron keletkező szakaszokkal (tehát felírjuk a BDC és BON háromszögek, majd a CON és CAB háromszögek hasonlóságát, és a kapott összefüggéseket összeadjuk), azt kapjuk, hogy

1/ON=1/AB+1/CD.

Így OM=ON=MN/2,

és

2/MN=1/AB+1/CD,

azaz MN=(2*AB*CD)/(AB+CD), vagyis MN az alapok harmonikus közepe.

Egy hasonló megoldás hasonló háromszögek helyett a kicsit kellemetlenebb párhuzamos szelők tételének többszöri alkalmazásával:

MO/AB = DO/DB = (DB- OB)/DB =1 - OB/DB = 1- ON/DC

MO = AB - ON *(AB/DC)

DC*MO + AB*ON = AB*DC

Hasonlóan:

ON/AB = OC/CA= 1- AO/AC = 1 - MO/DC

AB*MO + DC*ON = AB*DC

Tehát van két egyenletünk:

DC*MO + AB*ON = AB*DC

AB*MO + DC*ON = AB*DC

Ebből kell kiszámolni MO-t és ON-et.

MO + (AB/DC)*ON = AB

MO + (DC/AB)*ON = DC

(AB/DC - DC/AB)*ON = AB - DC

ON = (AB - DC)/(AB/DC - DC/AB)= AB*DC*(AB - DC) /(AB²-DC²)

ON = AB*DC/(AB+DC)

Ezt visszahelyettesítve:

MO = AB*DC/(AB+DC)