Rendezési tétel bizonyítás?

Ha jól emlékszem, azt mondja a rendezési tétel, hogy ha 0<a1<=a2<=...<=an és 0<b1<=b2<=...<=bn

akkor ha képezzük az összes olyan szorzatösszeget, melyekben az ai -ket és a bj -ket valamilyen párosításban páronként összeszorozzuk, majd az összeget összeadjuk, akkor a legnagyobb ilyen szorzatösszeg az a1*b1+a2*b2+a3*b3+...+an*bn lesz, a legkisebb pedig az a1*bn+...+an*b1 szorzatösszeg.

Bizonyítás: az ai -k szerinti sorrendbe állítom a tagokat.

Ha van olyan ai*bp és aj*br, és hogy i<j és p>r, akkor felírjuk, hogy

(ai*bp+aj*br)-(ai*br+aj*bp) = (ai-aj)*(bp-br)<=0

tehát ai*bp+aj*br >= ai*br+aj*bp

azaz akkor nagyobb a szorzatösszeg, ha a nagyobb indexű "a"- t a nagyobb indexű "b"-vel, a kisebbett pedig a kisebbel szorozzuk. Tehát ha két fordított sorrendű "a"*"b" párt egyező sorrendbe írunk át, akkor nő a szorzatösszeg. Ilyen "párcserékkel" pedig el lehet jutni az azonos rendezésű szorzatösszeghez (mindig =< módon "növelve"), a másik irányban pedig a fordítva rendezett szorzatösszeghez (mindig <= módon "csökkentve").

Van egy pici elírás a bizonyítás közepén. Fordított egyenlőtlenséggel jó, így:

tehát ai*bp+aj*br <= ai*br+aj*bp

Egyébként teljesen jó a bizonyítás, ez csak véletlen elírás volt.