Az ABCD trapezban AB parhuzamos CD-vel, es megszerkesztjuk az EAB es FDC egyenlo oldalu haromszogeket a trapez kulso tartomanyaban. Igazoljuk hogy AC, BD es EF osszefuto egyenesek?

Nemrég válaszoltam erre a kérdésre:

[link]

(Lehet, hogy akkor is te kérdezted, csak nem látod a válaszom?)

Nagyon jó bizonyítás, 3 dimenzióban is megy ha a két egyenlő oldalú háromszögnek az alapsíkkal alkotott szöge azonos állásban mérve kiegészítő szög. (síkban 0+180=180 speciális eset van)

Apró szépséghiba: annyit azért még le lehetett volna írni, hogy M a két átló metszéspontja, még ha az kideríthető is a geogebra Auxiliary Object táblázatából.

Ha koordináta geometriás megoldás kell, akkor tegyük mondjuk koordináta rendszerbe:

A(0,0)

B(b,0)

C(c,g)

D(d,g)

E(b/2, -(√3/2)*b)

F((c+d)/2, g + (√3/2)*(c+d))

az egyenesek:

AC: y = (g/c)*x

BD: y = (g/(d-b))*(x-b)

EF: y + (√3/2)*b = (2g+(√3)*(b+c+d))/(c+d-b))*(x-b/2)

AC∩BD:

(g/c)*x = (g/(d-b))*(x-b)

x = bc/(b+c-d)

y = bg/(b+c-d)

AC∩EF:

(g/c)*x = (2g+(√3)*(b+c+d))/(c+d-b))*(x-b/2) - (√3/2)*b

x = bc/(b+c-d)

y = bg/(b+c-d)

Nyilván ha AC∩EF = AC∩BD akkor EF∩BD is ugyanitt lesz.