Hogy tudod ezt kiszamolni?

Ez a kanonikus egyenletrendszer alak.

Az egyeneseket írjuk át vektoregyenlet alakba, hogy kiszámítsuk az irányvektorokat. Ahhoz először paraméteres egyenletrendszert kell csinálni, abból a vektorok leolvashatóak:

t a paraméter:

D1:

t = (x-2)/2 = (y+1)/1 = z/3

Ebből:

x = 2 + 2t

y = -1 + t

z = 0 + 3t

Vagyis P0=(2; -1; 0) az egyenes egy pontja, v1 = (2; 1; 3) pedig az irányvektora.

(A vektoregyenlet az lenne, hogy P(t) = P0 + t·v1, de azt nem is kell felírni, csak az irányvektor az érdekes.)

D2:

t = (x-2)/(-3) = (y-1)/1 = (z-1)/(-2)

Ebből:

x = 2 - 3t

y = 1 + t

z = 1 - 2t

csak az irányvektor az érdekes most is:

v2 = (-3; 1; -2)

A sík normálvektora a két irányvektor keresztszorzata:

n = v1 × v2

A keresztszorzat pedig ez a mátrix-determináns:

| i j k |

| 2 1 3 |

|-3 1 -2|

vagyis n = (-2-3; -4+9; 2+3) = (-5; 5; 5)

(Ugye ismered ezt a determinánsos keresztszorzat számolást? Ha nem, simán írd fel a keresztszorzat képletét (keresd meg valahol), de ezt a determinánsos formát egyszerűbb megjegyezni.)

Tudjuk, hogy a sík egy pontja mondjuk az előbb már felírt P0 = (2; -1; 0) pont, n = (-5; 5; 5) pedig a normálvektora, ezzel az egyenlete:

-5·(x-2) + 5·(y+1) + 5·(z-0) = 0

Átrendezve általános alakra:

-5x + 5y + 5z + 15 = 0