Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt,6-ot,9-et,15-öt adva egy mértani sorozat első négy tagját kapjuk. Mennyi a különbség, a hányados és mekkorák a kezdő tagok?

Eredeti sorozat:

a, a+d, a+2d, a+3d

Új sorozat:

a+5, a+d+6, a+2d+9, a+3d+15

Ez egy mértani sorozat. Ami azt jelenti, hogy az 1lső és 3. tag mértani közepe éppen a 2. tag, illetve ugyanez igaz a 2-3-4. tagra.Vagyis

(a+5)*(a+2d+9)=(a+d+6)^2

(a+d+6)*(a+3d+15)=(a+2d+9)^2

Ez egy két ismeretlenes másodfokú egyenletrendszer, ezt kellene megoldani. Elég bonyolultnak néz ki, úgyhogy ezt talán hagyjuk.

De közben eszembe jutott, hogy inkább visszafelé kéne haladni, hátha az könnyebb.

tehát mértani sorozat.

a, a*q, a*q^2, a*q^3 Ebből csinálunk számtanit:

a-5, aq-6, aq^2-9, aq^3-15

A két egyenelt most:

(a-5)+(aq^2-9)=2*(aq-6)

(aq-6)+(aq^3-15)=2*(aq^2-9)

Első egyenletet kicsit alakítva:

a+aq^2-14=2ag-12

a*(1+q^2)=2aq+2 (*)

Másodikat:

aq+aq^3-21=2*aq^2-18

aq*(1+q^2)=2aq^2+3 (**)

------------

Vagyis ez a két egyenlet:

a*(1+q^2)=2aq+2

aq*(1+q^2)=2aq^2+3

a*(1-2q*q^2)=2 -->(1-2q*q^2)=2/a (a nem lehet 0)

aq*(1+q^2-2q)=3

aq*2/a=3

q=3/2

a-t csak vissza kell számolni a=8 jön ki.

A mértani sorozat:

8,12,18,27

számtani:

3,6,9,12