Fizika, tehát ugye van a képlet hogy v (t) =ds (t) /dt de én ezt nem értem hogy ezzel hogy kéne számolni hogy kell ezt elképzelni már tanultam deriválni és határértéket számolni valaki egy kis magyarázatot adhatna?

A v(t)=ds(t)/dt egy általános matematikai felírása a sebességnek. Ezt így ilyen formában nem is lehet kiszámolni, ha nincs megadva, hogy milyen típusú mozgásról van szó (egyenes vonalú egyenletes mozgás, vagy gyorsuló mozgás, stb.) Amit leírtál az egy differenciálegynlet. Minden ilyen úgynevezett differenciálegyenletnek meg kell hogy adjanak egy peremfeltételt, ahhoz hogy konkrétan lehessen vele számolni. (A mozgás típusa is egy peremfeltétel). Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén pl. s=v*t, és akkor átrendezve v=s/t. Ebben az esetben a deriválás osztássá válik. Viszont ha egyenletesen gyorsuló mozgásról van szó, (tegyük fel, hogy kezdetben nulla a sebesség), akkor abban az esetben az út s=a/2*tˇ2. Itt "a" a gyorsulás, s az út, t az idő. Mivel a sebességet keresed, ezért a kiinduló képlet alapján az v=ds/dt. Keresni kell tehát az út idő szerinti deriváltját.

A ds/dt deriválást úgy végzed el, hogy a 'ds/dt' helyébe behelyettesíted az s függvény t szerinti deriváltját. Az egyenlet másik oldalára a v, azaz a sebesség kerül. Tehát az idő szerint deriválod az utat (t szerint az s-et), a deriválás során a hatvány a szorzóba kerül és 1-gyel csökken a kitevő, azaz v=a*t lesz az eredmény.

Az első válasz módszere akkor jó, ha tudod, hogy pl. t²-nek mi a deriváltja. Én leírom ahogy kérdezted, limesszel:

Mondjuk ha ez az út-idő függvény:

s(t) = b·t² (egyenletesen gyorsuló mozgás egyébként)

t és t2 időpontok között írjuk fel a differenciákat, közöttük kis Δt idő telik el:

Δt = h (elnevezem másnak, csak hogy ne kelljen sok helyre odaírni a deltát)

t2 = t+Δt = t+h

s(t) = b·t²

s(t2) = b·t2² = b·(t+h)² = b·(t² + 2·t·h + h²)

Δs = s(t2)-s(t) = 2·b·t·h + b·h²

Vagyis a limesz ez lesz:

lim Δs/Δt = lim (2·b·t·h + b·h²)/h

h→0

Itt tényleg nullához tart a nevező, de a számláló is! És szerencsére lehet egyszerűsíteni h-val:

lim (2·b·t + b·h)

h→0

Most már nincs 0-val osztás, ha h helyére beírjuk a nullát, értelmes eredményt kapunk:

v(t) = ds/dt = 2b·t

Kész is.

Egyébként ez a 2b a gyorsulás, és a-nak hívják. Azzal felírva ez az út-idő függvény meg a sebesség (b = 1/2·a):

s(t) = 1/2·a·t²

v(t) = a·t