Egyszerű határértékszámításos példa?

De honnan jön ki neked (-1)^n / n^2? (-1)^n-t max ((-1)^n/n^2)/(n^2)-re oszhatod le. Vagy még azt teheted, hogy beviszed a számlálóba és amikor a törtet "egyszerűsíted" n^2-vel akkor (-1)^n osztod n^2-vel, de akkor (2n^3 + 1)-t nem változtatod mivel szorzatnak csak egyik tagját osztod mindig és annak viszont semmi értelme, mert azt kapnád, hogy

((-1)^n)/n^2)*(2n^3 + 1) / (1 + 6/n)

Itt ((-1)^n)/n^2) valóban tart 0-hoz, oszcilálva

2n^3 + 1 tart viszont végtelenhez

És ha nézed ennek a kettőnek a szorzatát akkor nem tudod mi annak a határértéke és így nem jutsz tovább

Helyette:

Leosztasz a tört legdomináns tagjával, kapod:

[(2n + 1/n^2) / (1 + 6/n)]

2n végtelenhez tart, 1/n^2 0-hoz; összegük: végtelenhez

1 tart 1-hez, 6/n 0-hoz; összegük 1-hez

Végtelenhez tartó per 1-hez tartó végtelenhez, de ezt még beszorozuk (-1)^n-nel, ami miatt divergens lesz. (

Ja, hogy divergensnek mondja, véletlenül konvergensként olvastam. Már kezdtem kétségbe esni, hogy nekem miért jön ki akkor divergensnek...

Tehát egyszerűsítesz n-nel, és kapod:

(8-n / 2+n)^n

8-n / 2+n-t, mint ahogy megszoktad leosztod a nevező legdominánsabb tagjával (n) és kapod:

([8/n - 1] / [2/n + 1])^n

Innen látszik, hogy az alap -1-hez tart, akkor viszont n-edik hatványra emelve divergens lesz a sorozat (hisz páros n-k pozítivak, páratlanok meg negagívak lesznek).

Hát nem tudom, hogy jött ki ez, bár lehet nem is értem mit akar jelölni. N a küszöbérték lenne, mert én csak arra tudok gondolni? De akkor ha megnézem mondjuk E (epszilont jelölöm most így) = 7,5-re, akkor 2-nek kéne lennie ennek az N-nek, tehát 1-re nem kéne igaznak lennie, pedig |9/4-6| kisebb, mint 7,5. Másra viszont nem tudok N alatt gondolni.

Én így bizonyítanám:

Ha konvergens, akkor annak 6-nek kell lennie.

Tehát nézzük meg definicióban szereplő egyenlőtlenséget:

(6n^2+n+2 / n^2+n+2)-6-t, amit felírhatok úgy, hogy:

(6n^2+6n+12-5n-10 / n^2+n+2)-6

(6n^2+6n+12 / n^2+n+2)+(-5n-10 / n^2+n+2)-6

6+(-5n-10 / n^2+n+2)-6

-5n-10 / n^2+n+2

És akkor azt kell bizonítanunk, hogy ennek az absz értéke kissebb bizonyos n-től kezdve tetsz epszilonnál.

Mivel n>0; ezért -5n-10 negatív, míg n^2 + n + 2 pozitív, tehát a tört mindenképp negatív => absz-értéke -1-szerese:

5n+10 / n^2+n+2

Most persze erről mondhatnám, hogy ez 0-hoz tart leosztós módszerrel, tehát tényleg igaz lesz, de akkor mondjuk nincs értelme az egész definició szerinti bizonyításnak.

Helyette inkább megnézem a(n+1)-t és a(n)-t (n-edik és n+1-dik tagot), és bebizonyítom, hogy n+1 kisebb.

5(n+1)+10 / (n+1)^2+n+1+2 < 5n+10 / n^2+n+2

(5n+15)(n^2+n+2) < (5n+10)(n^2+3n+4)

(5n+10)(n^2+n+2)+5(n^2+n+2)<(5n+10)(n^2+n+2)+(5n+10)(2n+2)

5(n^2+n+2) < (5n+10)(2n+2)

5n^2 + 5n + 10 < 10n^2 + 30n + 20

Mivel n>0, ezért nyilván igaz, azaz monoton csökken. Illetve mivel n>0 ezért minden tag pozitív lesz, azaz a(n)>0.

Ha nagyobb 0 és monoton csökken, akkor 5n+10 / n^2+n+2 0-hoz tart, azaz biztos lesz olyan n, amitől kezdve kisebb bármilyen tetszőleges epszilonnál.

Akkor viszont |(6n^2+n+2 / n^2+n+2)-6|-re is igaz lesz ez, tehát a sorozat konvergens.

Elnézést, egy kis figyelmetlenség beelcsúszott:

5n+10 / n^2+n+2-ról, amikor bizonyítom, hogy 0-hoz tart és kimondom, hogy nagyobb 0, akkor az nem elég. Kellene, hogy az alsókorlátja 0.

Viszont ehelyett van egy egyszerűbb megoldásom:

Legyen x = n+2, ez esetben kapjuk, hogy 5x / x^2-x (mivel n^2+n+2 = (n+2)^2-n-2), ami x-vel egyszerűsítve 5 / x-1, ami nyilván tart 0-hoz, tehát 5n+10 / n^2+n+2 is tart 0-hoz. (Ehhez akkor persze a monoton csökkenés se kell, ami azért sokkal rövidebbé teszi az egészet)

Najó, amit mondtam az hülyeség volt, elnézést, hogy most már össze-vissza beszélek, sajnos hajlamos vagyok ilyeneken nagyon könnyen elcsűúszni...

Ha nézzük:

5n+10 / n^2+n+2 < E-t

Akkor felszorzunk n^2+n+2-vel:

5n+10 < E(n^2)+En+2E

0 < E(n^2) + (E-5)n + 2E -10

Ha megnézzük, akkor E pozítiv, azaz a parabola konvex (felfelé nyitott), tehát biztos lesz olyan n, amitől kezdve nagyobb nullánál, tehát létezik N, amire igaz, hogy n>N esetén az egyetlőtlenség minden tetszőleges (pozitív) E-re igaz, és akkor viszont a definicióhoz szükséges állítás is igaz, tehát a sorozat konvergens.