Egyenlet megoldás? 10. osztály?

A feladat

x² - y² = 1996

Az első válaszoló megtette az első fontos lépést, szorzat alakban írta fel a bal oldalt.

A megoldáshoz ugyanezt kell tenni a jobb oldallal is.

Vagyis

(x + y)(x - y) = p1*p2

alakot kell előállítani

Ha ez megvan, akkor lehet párosítani a bal és jobb oldal tényezőit a pl. következőképpen

x + y = p1

x - y = p2

Ebből a két egyenletből a két ismeretlen meghatározható.

A két egyenletet összeadva

2x = p1 + p2

ebből

x = (p1 + p2)/2

*****************

Az első egyenletből kivonva a másodikat

2y = p1 - p2

amiből

y = (p1 - p2)/2

===========

Az elvi megoldás már megvan, a konkrét értékek kiszámításához először meg kell határozni p1 és p2 lehetséges értékeit.

Ehhez meg kell keresni 1996 osztóit, aminek első lépése a törzstényezős alakban történő felírás.

Mivel

1996 = 2²*449

ezért 1996 osztóinak száma

d(1996) = 3*2 = 6

Ezek

1, 2, 4, 499, 998, 1996

A feladat jobb oldalát úgy kell szorzat alakban felírni, ha a komplementer osztópárokat vesszük. Azok a komplementer osztópárok, melyek szorzata a számot adja.

Vagyis az osztópárok:

1 - 1996

2 - 998

4 - 499

Mivel egész számú megoldást keresünk, és az 'x' és 'y' a képlet szerint csak akkor lehet egész szám, ha a számlálók oszthatók kettővel. Ez akkor lehetséges, ha a számláló mindkét tagja azonos paritású (vagy párosak vagy páratlanok).

Ennek a feltételnek egyedül a

2 - 998

páros felel meg, vagyis

p1 = 998

p2 = 2

Ezután már csak be kell helyettesíteni, azaz

x = (p1 + p2)/2 = (998 + 2)/2 = 1000/2

x = 500

=======

y = (p1 - p2)/2 = (998 - 2)/2 = 996/2

y = 498

=======

Mivel a feladatban nem kikötés a pozitív egész megoldás, ezért az

x = -500

y = -498

páros is megoldás.

Az ellenőrzés legyen a kérdező dolga. :-)

Ha kérdés van, tedd fel.

DeeDee

***********