K-adik gyök közelítése rekurzív sorozattal. Pontosan hogyan?

Nagyon jó a kérdés felvetése, fontos összefüggésekre vezethet a megválaszolása. A képlet legvalószínűbb megtalálási módja a következő (persze érdemes lenne erről Newtont is megkérdezni).

Először is ismerni kell a Newton-(Raphson)-módszert, amely arra szolgál, hogy az f(a)=0 egyenletnek megtaláld egy megoldását. Részletesen itt: [link]

A lényeg, hogy rekurzívan megadunk egy {a_n} sorozatot, amely bizonyos feltételek esetén az f függvény egy gyökéhez konvergál: a_{n+1}=a_n-f(a_n)/f'(a_n), mindez a függvény grafikonjának pontbeli érintői alapján történik (olvasd el a wikipédia cikket).

Ha a fenti módszert az f(a)=a^k-x függvényre alkalmazzuk, akkor f(a)=0 megoldása éppen k-adik gyök x lesz.

Behelyettesítve a függvényt a képletbe f'(a)=k*a^{k-1} alapján:

a_{n+1}=a_n-(a_n^k-x)/(k*a_n^{k-1})=

a_n(1-1/k)+x/(k*a_n^{k-1}), ami épp a tanárod által felírt képlet.