Matek! Ha egy sokszögnek behúzzuk az átlóit, keletkeznek metszéspontok. A négyszögnél egy, az ötszögnél 5, a hatszögnél 15. Hány metszéspont keletkezik a hétszögnél és a nyolcszögnél? Mi a szabály erre?

convex n-szognel ha behuzol egy atlot, akkor k db csucs lesz az atlo egyik oldalan, es n-k-2 csucs a masikon.

Ezert osszesen k*(n-k-2)/2 metszespont lehet rajta maximum.

Ha tobb atlo egy pontban metszi egymast akkor esetleg kevesebb.

Na ezt kell minden atlora osszeadni, aztan mivel igy minden metszespontot ketszer vettel figyelembe, meg elosztani kettovel.

Akkor mondjuk azt a gondolatmenetet kovessuk,

hogy eloszor megszamoljuk, hogy egy adott csucsbol indulo atlokon hany metszespont lesz. Ezutan ezt megszorozzuk n-nel, mert n csucsunk van n-szog eseten. De igy minden atlot duplan vizsgaltunk, es minden metszespont 2 atlon van, tehat az elozo eredmenyt osztani fog kelleni 4-gyel, hogy helyes eredmenyt kapjunk.

Egymas utan szamozzuk be az atlokat amik egy csucsbol futnak. A 0. atlo az az egyik oldal maga, aztan sorba 1., 2.... n-2. atlo es az n-1. az meg megint egy oldal lesz.

A k. atlo egyik oldalan lesz k csucs, a masik oldalan meg n-2-k csucs.

Ezek egyutt k*(n-2-k) keresztatloval metszik a k. atlot, felteve, hogy csak kettesevel metszik egymast, nem talalkozik 3 vagy tobb egy pontban. Ezt a tovabbiakban is fel fogjuk tetelezni, tehat mondjuk egy szabalyos sokszognek az altalunk kapottnal kevesebb metszespontja lesz az atloin.

Szoval adjuk ossze az egyes atlokon levo metszespontok szamat, jeloljuk az egyetlen csucsbol futo atlokon talalhato osszes metszespontok szamat C-vel:

C = 1*(n-3) + 2*(n-4)+....+(n-4)*(n-(n-2))+ (n-3)*(n-(n-1)) =

=n -3 + 2n -2*4 + 3n -3*5 +... + (n-4)*n - (n-4)*(n-2) + (n-3)*n - (n-3)*(n-1) =

szetvalogatva a pozitiv es negativ tagokat:

C = n+2n+3n+...+(n-3)n -1*3 - 2*4 - 3*5 - ... -(n-4)*(n-2) - (n-3)*(n-1) =

=n*(1+2+3+...+(n-3) ) - (1*3 + 2*4 + 3*5 + ... ((n-3)*(n-1)) = n(n-3)(n-2)/2 - (3*3 - 2*3 + 4*4 - 2*4+ 5*5 - 2*5 +...+ (n-1)*(n-1) - 2*(n-1) ) =

=n(n-3)(n-2)/2 + 2(1+2+3+...+(n-1)) -6 -(1^2+2^2+3^2 +...+(n-1)^2) + 5=

=n(n-3)(n-2)/2 + 2*(n-1)n/2 -1 - (n-1)(n)(2n-1)/6 =

=(n-1)(n-2)(n-3)/6

Na akkor ezt n-nel szorozva es 4-gyel osztva az osszes metszespont:

n(n-1)(n-2)(n-3)/24

ami 3szogre 0

4szog: 1

5 szog: 5

6szog: 15

7szog: 35

8szog: 70