X^2+6+1/x^2=4x+4/x?

(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2

Vagyis át lehet írni a bal oldalt:

(x+1/x)^2+4=4*(x+1/x)

x+1/x=a helyettesítéssel:

a^2-4a+4=0

Sima másodfokú egyenlet

a=2, amiből x=1.

"a^2-4a+4=0 "

Jó akkor innen úgy folytatódik, hogy ránézel és látod, hogy

(a-2)^2=0

Ez csak akkor 0, ha a=2.

x+1/x=2

x+1/x-ről meg azt kell tudnod, ha x>0, akkor mindig legalább 2, és csak akkor éppen 2, ha x=1.

Szóval itt ügyesen kell trükközni, és akkor nem kell azzal foglalkozni, hogy jaj ez másodfokú :)

(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2

Ez egy azonosság. Ha elvégzed a négyzetre emelést, akkor első tag négyzete + kétszeres szorzat + 2. tag négyzete lesz.

Az eredeti egyenlet bal oldala:

X^2+6+1/x^2=(X^2+2+1/x^2)+4=(x+1/x)^2+4

Ahogy írtam ezzel az átalakítással az egyenlet az alábbi alakot ölti:

(x+1/x)^2+4=4*(x+1/x)

az egyik oldalon x+1/x szerepel, a másik oldalon ennek a négyzete.

Új változókat bármikor be lehet vezetni. Nem muszáj, csak azért érdemes, hogy átláthatóbb legyen a kifejezés.

Semmi mást nem csinálok, csak a 'zárójeles' kifejezés helyére 'a' betűt írok mindkét oldalon.

a^2+4=4*a