Hányféleképpen lehet előállítani a 255-öt egymást követő pozitív egész számok összegeként? Nekem csak egy megoldásom van, létezik több is?

Létezik többféle is igen.

kapásból mutatok kettőt:

127+128 = 255

84+85+86 = 255

nincs kedvem végig leírni, de arról van szó, hogy egy számtani sorozat összegét keressük

1. elem: a

2. elem: a+1

..

n. elem: a+n-1

Felírod az összegképletet, az egyenlő 255-tel, a 255-öt meg prímtényezőkre bontod

rendezve az egyenletet:

(2a+n-1)*n = 2*3*5*17

és mivel a és n egész számok, végignézed, hogy a prímtényezőket hogyan lehet elosztani a szorzat között

n=2, akkor 2a+n-1= 255 -- >ebből kijön-e a-ra egy pozitív egész szám?

n=3, akkor 2a+n-1= 170

n=5

n=17

n=2*3=6...

n=2*5=10

n=2*17=34

végül a háromtényezős szorzatok

n=2*3*5=30

n=2*3*17=102

n=3*5*17=255

lehet hogy lesz olyan, amikor a-ra nem egész szám jön ki, az utolsó néhány esetre pedig a értéke negatív lesz, azok sem jók

de így korrekt a megoldás, hogy végignézed ezt a ha jól számolom 10 esetet.

127+128

84+85+86

49+50+51+52+53

40+41+42+43+44+45

21+22+23+24+25+26+27+28+29+30

10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24

7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23

Az összegképlet szerint

2*Sn = (2a + n - 1)n = 510

A zárójelet felbontva

2a*n + n(n - 1) = 510

2a*n = 510 - n(n - 1)

2a = 510/n - n(n - 1)/n

egyszerűsítés után

2a = 510/n - (n - 1)

'n' maximális értékét a

510/n - (n - 1) > 0

510 - n(n - 1) > 0

510 > n(n - 1)

Két egymást követő szám szorzataként az egyenlőtlenség

n <= 23 esetén teljesül.

Mivel

510 = 2*3*5*17

a fenti határ figyelembe vételével az 'n' lehetséges értékei

2

3

5

6

10

15

17

Behelyettesítve a következő 'a' értékek adódnak

n = 2 --> a = 127

n = 3 --> a = 84

n = 5 --> a = 49

n = 6 --> a = 40

n = 10 --> a = 21

n = 15 --> a = 10

n = 17 --> a = 7

Ezek ismeretében felírhatók a sorok, melyek összege 255.

DeeDee

*************

Más megközelítés, mint ahogy az eddigiek írták, az eredmény azonban természetesen ugyanaz.

I. Páratlan számú tagból álló összeg.

Az összes elem a középsővel helyettesíthető (pl 14+15+16+17+18=16+16+16+16+16=5*16), azaz:

[tagok összege] = [tagok száma]*[középső tag]

Így a 255 minden (pártalan, de az összes olyan) osztójához létezik egy "megoldás", és a páratlan elemszámú megoldások pontosan ezek. Elég nagy osztóra azonban negatív számok lesznek a megoldásban. 255 prímtényezős felbontása: 3*5*17, így az osztók, és a hozzájuk tartozó megoldás:

1: 255 = 1*255

3: 255 = 3*85 = 84+85+86

5: 255 = 5*51 = 49+50+51+52+53

15: 255 = 15*17 = 10+11+12+13+14+ 15+16+17+18+19 +20+21+22+23+24

17: 255 = 17*15 = 7+8+9+10+11+12+ 13+14+15+16+17 +18+19+20+21+22+23

51: 255 = 51*5 = (-20) + (-19) + ... + 30

Így ez és a magasabb osztókhoz tartozó megoldások már nem jók.

II. Páros számú tagból álló összeg.

Itt is működik a fenti elv azzal az eltéréssel, hogy a "középső tag" nem egész, és ezért nincs benne a sorozatban. Például 21+22+23+24=22,5+22,5+22,5+22,5=4*22,5, azaz

[tagok összege] = [tagok száma]*["középső tag"]

ahol a "középső tag" minden esetben egy páratlan szám fele. Ebből:

2*[tagok összege] = [tagok száma]*2*["középső tag"]

Így a 255 kétszeresének (510-nek) minden páros * páratlan felbontásához létezik "megoldás", azonban itt is fenn áll a veszély, hogy ha a páros tényező túl nagy, akkor a "megoldásban" negatív számok lehetnek. 510=2*3*5*17, így a lehetséges felbontások:

2: 255 = 2*127,5 = 127+128

6: 255 = 6*42,5 = 40+41+42+43+44+45

10: 255 = 10*22,5 = 18+19+20+21+22 + 23+24+25+26+27

30: 255 = 30*8,5 = (-6)+(-5)+...+23

Ez, és a továbbiak már túl nagyok. Így összesen 3 páros tagú és, az egytagút is beleszámolva, 5 páratlan tagú megoldás van.