Egy valszám házi megoldása?

Pontosabban x≤1 esetén x²·π/4 a sűrűségfüggvény, tehát az eloszlásfüggvény x·π/2

Nevezzük a bal alsó sarkot A-nak, a jobb alsót B-nek, a bal felsőt C-nek, a jobb felsőt pedig D-nek.

Ha x>1, akkor az x sugarú kör metszi a négyzet oldalait mondjuk a P (jobbra) meg Q (fent) pontban:

BP = CQ = √(x²-1)

Az ABP valamint ACQ háromszögek területe:

1·√(x²-1)/2

Vagyis a két háromszög területének összege éppen √(x²-1).

Ehhez hozzá kell még adni az APQ körcikk területét. Ha a PAQ szöget α-nak nevezzük:

x²·α/2

α már nem ilyen szép, de az ábráról leolvasható:

α = π/2 − 2·arc cos(1/x)

Szóval a teljes terület:

√(x²-1) + x²·(π/4 − arc cos(1/x))

Ez a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye is x>1-re (√2-ig persze). Az eloszlásfüggvény ennek deriváltja, azt már rád bízom.

Jaj, bocs, megint fölcseréltem az eloszlásfüggvény meg a sűrűségfüggvény elnevezéseket! Szóval nem kell deriválni, a terület az már az eloszlásfüggvény. Ennek a deriváltja lenne a sűrűségfüggvény. (Nem tudom, miért nem tudom megjegyezni, melyiknek mi a neve.)

x≤1 esetén is már x²·π/4 az eloszlásfüggvény, azt se kellett deriválni.