Gyök alatt (n^2) +n. Mi ennek a kifejezésnek az elsö tizedes jegye? Hogy kellene megoldani?

Számtani-mértani közepet kell felírni n-re és n+1-re, és ezt kapod:

gyök(n*(n+1)) =< (n+n+1)/2

gyök(n^2+n) < n + 0,5 (mivel egyenlőség csak akkor van, ha a két szám megegyezik, ezért innentől elhagyható)

A négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton növekvő, tehát ha x2>x1, akkor f(x2)>f(x1). (Magyarul: ha nagyobb számot helyettesítesz be a függvény utasításába, akkor az eredmény is nagyobb lesz.)

Ha egyet helyettesítesz be, akkor az eredmény gyök(2) lesz, aminek az értéke kb. 1,4142... Innentől tudod, hogy ennél minden csak érték nagyobb lehet (mert négyzetgyökfüggvény), és tudod, hogy n+0,5-nél kisebb (a közepekből), tehát ezzel lefixáltuk, hogy az első tizedesjegynek 4-nek kell lennie.

Persze ki kell kötni, hogy a szabály csak olyan n-ekre igaz, amik az egész számok halmazának elemei, és a buliban nem játszhat még a 0 és a -1 sem (ha ezeket írnánk be, akkor 0 lenne a helyettesítési érték).

Ja igen, kis kiegészítés az előző válaszomhoz. A gyök(n^2+n) függvény csak pozitív értékekre növekvő függvény.

A közepekhez pedig annyi megjegyzést fűznék, hogy negatív számok esetén teljesen egyértelmű, hogy

gyök(n^2+n) > n+0,5, mert a gyökös kifejezés nemnegatív lehet, a jobb oldalon pedig (0,5-nél kisebb számok esetén) negatív értékek lesznek. Ezt úgy lehetne korrigálni, hogy rá lehessen húzni a fentebb írt szabályokat és gondolatmenetet, hogy

gyök(n^2+n) < |n+0,5| (ez abszolútértékjel akar lenni)

Ebből már ugyanúgy ki lehet hozni, amit a pozitív tartományon sikerült. Vagyis:

A negatív tartományon gyök(n^2+n) szigorúan monoton csökkenő függvény, tehát kisebb n-ekre nagyobb értéket vesz fel. n=-2 esetén a felvett érték gyök(2)=1,4142... és ugye -2-nél kisebb értékekre a függvény értéke ennél csak nagyobb lesz, de mindig kisebb |n+0,5|-nél, így sikerült beszorítani az első tizedesjegyet, hogy mindig 4 legyen.

Tetszett egyébként a feladat, honnan van?

Sajnos fel kell hínom a figyelmed, egy hibára a bizonyításodban. Azt láttad be hogy adott n-re az érték nagyobb mint gyökkettő és kisebb mind n+0,5, tehát n=3-ra az érték akár 3.2 is lehetne.

Sajnos a megfelelő bíozonyításra még magam sem jöttem rá.