Gazdasági matek 1. évf. Beadandó. Segítesz nekem?

6)

f(x)=e^(-0,01x + 12)

kerdes: hol maximalis a g(x)= xf(x) fuggveny

g(x) = x*e^(-0,01x+12)

g'(x) = e^(-0,01x+12) -0,01x*e^(-0,01x+12) = e^(-0,01x+12)(1-0,01x)

ami csak akkor lehet 0, ha az egyik szorzotenyezo 0. e-nek semmilyen hatvanya nem 0, tehat csak az az erdekes mikor 0 az 1-0,01x

vagyis x=100.

Ebbol is latszik, hogy mindegy milyen penznemben szamolod a keresleti optimumot, mert az arat megszorozva egy konstanssal ugyanott lesz a maximum. (a +12-nek semmilyen szerepe nincs a maximum hely meghatarozasaban, az e^12 csak egy szorzo tenyezo a fuggvenyunkben.)

f(x) = sin(x)

V = ∫(0..Pi) sin(x)^2Pi dx = Pi*[x/2 -sin(2x)/4]0..Pi =

= Pi*(Pi/2) = (Pi^2)/2

4)

x=x^2 amikor x=1 es x=0

max(x,x^2) = x ha 0<x<1 es x^2 ha 1≤x vagy x≤0

F(x) = (1/3)x^3 ha x<0

(1/2)x^2 ha 0≤x<1

(1/3)x^2 ha 1≤x

2)

[(2n^2 + n + 1)/(2n^2 -n + 1)]^(3n+1) =

= [1 +2n/(2n^2 - n + 1)]^(3n+1) =

[1+ 1/(n - 1/2 + 1/n)]^(3n+1) =

[1+ 1/(n - 1/2 + 1/n)]^(3(n-1/2 +1/n) +5/2 -3/n) =

{[1+ 1/(n - 1/2 + 1/n)]^(n-1/2 +1/n)}^3 *[1+ 1/(n - 1/2 + 1/n)]^(5/2) * [1+ 1/(n - 1/2 + 1/n)]^(-3/n) ->

-> e^3 * 1 * 1 = e^3

Azert ezt szamold at, a sokfele zarojel kozt lehet, hogy valahol pl elojelet tevesztettem.

1)

f'(x) = ln(4) * tg(2x)*(2* ... - tg(2x)*...) -2sin(Pi/2)

f'(0) = -2sin(Pi/2) = -2

3)

[link]

f(x)=(x-1)^2 /(2(x+1))

f(x) = (x^2-2x+1)/(2x+2)

f(x) = ((x-3) + 4/(x+1))/2

f(x) = ( (x+1) +4/(x+1)/2 -4/2

f(x) = ( (x+1) +4/(x+1)/2 -2

Tehat a fuggvenyunket ugy kaphatjuk meg az (x+4/x )/2 fuggvenybol, hogy eltoljuk balra 1-gyel, majd lefele 2-vel

Eleg tehat a g(x)=(x+4/x)/2 fuggvenyt felrajzolni, a fuggvenyunket mar meg tudjuk kapni eltolassal.

g(-x)=(-x-4/x)/2=-(x+4/x)/2 = -g(x)

vagyis g(x) paratlan fuggveny.

Tehat az origora szimmetrikus.

Elegendo tehat felrajzolni pozitiv x-ekre, a negativ x-eket megkaphatjuk az origora valo tukrozessel.

A szamtani es mertani kozep kozti egyenlotlenseg miatt

(x+4/x)/2 ≥ √(x*4/x) = √4 = 2

egyenloseg akkor all fenn, ha x=4/x, tehat x=2

A fuggvenynek tehat helyi minimuma van az x=2 pontban g(2)=2

A szimmetria miatt egy helyi maximuma lesz az x=-2 pontban g(-2)=-2

Ezen kivul az x=0-ban nyilvan fuggoleges erintoje van es nincs ertelmezve.

g(x):

[link]

Az eltolasok utan:

f-nek lokalis minimuma lesz az x=2-1=1 pontban f(1) = 2-2=0

es lokalis maximuma lesz az x=-2-1=-3 pontban f(-3)=-2-2 = -4

Az x=-1-ben nyilvan asszimptotaja van es nincs ertelmezve.

f(x):

[link]