Ezt az egy matek feladatom nem tudom megoldani! Valakinek van ötlete?

Mivel a négyszög átlói merőlegesek egymásra, ezért lesz négy derékszögű háromszöged, amelyeknek az átfogói az eredeti négyzet oldalai (1, 5, 7, és az ismeretlen oldal, ami legyen X), míg a befogói az eredeti négyszög átlóinak egy darabja lesz (esetemben a, b, c, d). A négy háromszög tehát:

(1) átfogó: 7 befogók: a,b

(2) átfogó: 5 befogók: b,c

(3) átfogó: 1 befogók: c,d

(4) átfogó: x befogók: d,a

Ha nem vagy elég vizuális típus írj privátot és küldök egy rajzot. A négy derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tételt felírva kapsz négy egyenletet. Esetemben ez a következő volt.

(1) 7^2=a^2+b^2

(2) 5^2=b^2+c^2

(3) 1^2=c^2+d^2

(4) x^2=a^2+d^2

Ezeket kicsit átalakítva:

(1) b^2=49-a^2

(2) b^2=25-c^2

(3) c^2=1-d^2

(4) a^2=x^2-d^2

az (1) és (2) egyenletből következik:

49-a^2=25-c^2

és ha a és c helyére beírod a (3) és (4) egyenletet, akkor a következőt kapod:

49-(x^2-d^2)=25-(1-d^2)

49-x^2+d^2=25-1+d^2

25=x^2

x= +5 v. -5

De mivel egy négyszög oldaláról van szó, ezért nyilvánvalóan csak az x=+5 a jó megoldás, ahogy azt az előző válaszoló is megmondta.

Remélem kielégítő volt a válasz.

Ki is számoltam, le is rajzoltam, stimmelnek a fenti válaszok:

[link]

Begépeltem a számolásomat is:

[link]

Szép megoldások, de nem szerepelt a feladatban, hogy szimmetrikus idomról van szó, ezért merész feltételezés volt ilyennek kezelni a megadott adatokat.

Bizonyítható a következő összefüggés: ha a négyszög átlói merőlegesek egymásra, a szemben fekvő oldalak négyzetösszege egyenlő.

Ha a, b, c, d a négyszög oldalai

a² + c² = b² + d²

A feladatban

a = 1

b = 5

c = 7

így

d² = a² + c² - d² = 1 + 49 - 25

d² = 25

így

d = 5

====

Nem volt véletlen az adatok nagysága, így egész számú lesz a negyedik oldal is.

Ki lehet próbálni: a megadott három oldal bármelyikéből kiindulva végtelen számú olyan négyszög szerkeszthető, amelyek nem szimmetrikusak. Feltétel: két oldal nem eshet egy egyenesbe.

DeeDee

**********

Tessék az ábra.

[link]

Jól láthatod, hogy abból a feltételezésből indultam ki, hogy nem szimmetrikus a négyszög. A megoldás ismeretében persze változna az ábra, de ezt amikor elkezdtem még nem tudhattam.

Kedves 2/6

Mivel nem mellékeltél rajzot, a megjegyzésem az előttem válaszolónak szólt.

Nem szeretem az ilyen feladatokat konkrét számokkal megoldani. Megpróbálok általános, - és ha lehetséges - zárt formában megadható megoldást találni. Sok számolást és ezzel együtt sok tévedési lehetőséget lehet így elkerülni. Ha kész a megoldás, csak be kell helyettesíteni a kiinduló adatokat, és kész.

Te egy asszimetrikus, az utánad válaszoló egy szimmetrikus alakzat feltételezéséből indult ki, és ugyanarra az eredményre jutottatok. Ha csak ennyit látok, már megakadtam volna azon, hogy ez hogyan lehetséges, miért van ez így?

Egyik választ sem néztem át lépésről lépésre, mielőtt a sajátomat meg nem csináltam.

Ugyanazokkal az összefüggésekkel dolgoztam, mint ti, csak számok nélkül.

Ha csak egy konkrét esetre keresel megoldást, akkor gyakran előfordul, hogy a fától nem látni az erdőt, azaz láthatatlan lesz egy általános megoldás, ami sokkal könnyebbé teszi a megoldást.

Nem emlékszem, hogy találkoztam volna eddig az általam levezetett összefüggéssel, számomra teljesen új és meglepő volt az eredmény. Annyira, hogy nekiálltam szerkesztéssel is igazolni helyességét több kiinduló adathármas esetén. Igaznak bizonyult.:-)

Ezek után már világos volt, miért adott két eltérő kiinduló modell azonos eredményt.

Természetesen az általam kapott megoldás csak 'Az újszülöttnek minden vicc új' régi igazságának egy megjelenési formája. :-)

Minden esetre magamnak eltettem a gyűjteményembe, és talán másnak is hasznos lehet még valamikor.

DeeDee

**********

3-as 4-es megszólaló vagyok.

Beláttam bűneimet, trapézra asszociáltam és semmi jel nem figyelmeztetett a baklövésemre.

Kárpótlásul itt a helyes -dinamikus- ábra:

[link]