A könyvtárban 199 polcon 20 000 könyvet helyeztek el minden polcon legalább 1, illetve legfeljebb 199 könyv van. Bármilyen elrendezés esetében van legalább 2 olyan polc amelyen egyenlő számú könyv van?

[link]

A vécére azért nem megyek ki helyetted.

Lefordítom, amit az első válaszoló írt:

Szóval tegyük fel, hogy el lehet helyezni minden polcra különböző számú könyvet. Elsőre 1-et, másodikra 2-t, stb. 199-edikre 199-et. Ha ezek összege kevesebb, mint 20000, akkor lehet ilyet csinálni.

1-től 199-ig az összeg gyorsan:

Írd fel gondolatban ugymás mellé a szamokat, atan alatta sorban újra, de most visszafelé. Valahogy így:

1   2   3   ... 199

199 198 197 ... 1

Az egymás alattiakat ha összeadod, mindenhol 200 lesz az eredmény. Tehát a teljes összeg 199·200. De ezt el kell osztani 2-vel, mert minden szám duplán van felírva. Tehát az összeg 19900

Vagyis kevesebb, mint 20000, tehát a maradék könyveket be kel rakni a kevés könyvet tartalmazó polcra, vagyis nem lehet olyan eset, hogy minden polcon más számú könyv lenne.