Hány olyan szám van az első 100 pozitív egész szám kötött mely 2,3,5 számok közül a, legalább egyel b, pontosan egyel c, pontosan kettővel osztható?

Nos én elsőnek kivenném a prím számokat. Mivel azokat nem igazán lehet osztani ezekkel a számokkal(prím számok azok a számok amik csak 1-el és önmagukkal oszthatók). Wikipedián ezt találtam:

A legelső (legkisebb) pozitív prímszámok a következők: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Ebből megmarad a jó számok között számunkra a 2, 3 ,5.

A többi mind nem kell nekünk. Ha jól számoltam akkor 22 szám nem kell illetve az 1 se. Ez azt jelenti hogy kapásból 100-23 számmal kell csak foglalkozni ami 77.

a, a kettővel való osztás során a jó megoldások kb. fele az összes megoldásnak, mivel minden második szám páros. A páratlan számokat meg biztos hogy fogja osztani az 5 vagy a 3. Szóval szerintem 77.

b, Itt az a történet, hogy meg kell keresni hogy hány szám osztható csak 2vel hány szám osztható csak 3mal és mennyi csak 5-el.

kezdjük akkor sorra:

amik csak 2vel oszthatók:

Itt nézzük meg azt hogy mik azok az esetek amik nem jók, majd kivonjuk az összes olyan páros számból.

Ezek azok a számok lesznek amik párosak és oszthatók 6(2*3)-al vagy 10(2*5)-el. No hát kezdjük: 1-100 ig 10 db olyan szám van ami 10-el osztható Ebből nem jó a 30,60,90, mert ezeket meg fogjuk számolni az amikor azt a 6-al való osztást vizsgáljuk azaz csak 7. Összesen 16 db olyan szám van ami 1-100ig osztható 6al. Ezt onnan lehet tudni hogy 6*17=102. Ez már pont túllépi 2-vel. Tehát összesn 16+ 7db ilyen szám van. 1-100 ig összesen 50 db páros szám van. 50-23 = 27

amik csak 3al oszthatók.

Itt is ugyanaz a hasonlóan állunk neki.

Vesszük a rossz megoldásokat. Azok jelen esetben a rosszak amik oszthatóak 6(3*2)-al illetve 15(3*5)-el.

Az előző esetben megszámoltuk hogy összesen 16 db olyan szám van ami 6al osztható. A 15el osztható számok pedig 6 db ebből nem jó a 30, 60, 90 számkombináció ismét azaz csak 3. Ez összesen 22. A 3mal osztható számok összege pedig 33. Ez azt jelenti hogy nekünk most 33-19= azaz 14 jó.

amik csak 5el oszthatók:

Itt is ugyanaz a gondolkodási módszer :

amit keresünk:

10el illetve a 15el osztható számok persze kivétel 30,60,90 -> 10db + 3 db = 13 db

5 el összesen 20 db szám osztható. 20-13 = 7 db

no de nekünk az összes szám kell szóval ezeknek a darabszámát össze kell adjuk ami azt jelenti hogy:

csak 2 vel osztható + csak 3osztható + csak 5el osztható

27+14+7=48 db olyan szám van ami pontosan csak 1 el osztható.

c, Ez a feladat szinte kész is van

Mivel az előző feladatban pont azt számoltuk ki amikor 2 számmal osztható. Szóval össze kell adnunk ami osztható

6-al 10-el és 15-el.

16+ 7 + 3 = 26