Mi a megoldás ebben a feladatban a b-re? És valaki le tudná egyszerüen írni hogy hogyan kapom meg?

f(x) = 2-3x³

Úgy látom, hogy teljesen hasonló feladatokat adsz fel itt embereknek, de nem tűnik úgy, hogy tanulnál az egészből. Egyikre se írtál még választ, hogy megértetted, vagy gondod van még, vagy egyszerűen, hogy "kösz". Olvasod a válaszokat?

Az ilyen feladatoknál két dolog szükséges:

- kell tudni a legfontosabb deriválási szabályokat

- kell tudni egy pontban adott meredekséggel egyenes egyenletét felírni.

Írd már meg, milyen deriválási szabályokat tudsz, és segítünk, ha valamelyikkel problémád van.

(5)' = ...

(n·x)' = ...

(x/n)' = ...

(xⁿ)' = ...

(ⁿ√x)' = (x^(1/n))' = ...

(1/xⁿ)' = (x^(-n))' = ...

Ez a 3 fentebb egy kaptafára megy

(ln x)' = ...

(lg x)' = (ln x / ln 10)' = ...

(sin x)' = ...

(cos x)' = ...

szorzat:

(f(x)·g(x))' = ...

(x²·ln x)' = ...

hányados: a szorzatra visszavezethető:

(1/f(x))' = (f(x)^(-1))' = ...

(f(x)/g(x))' = ...

belső függvény:

f(g(x))' = ...

sin(x²)' = ...

((x²+5x+1)³)' = ...

---

A másik dolog volt egyenes húzni az érintőhöz. Itt az a lényeg, hogy az érintő meredeksége megegyezik a derivált értékével abban a pontban. Tehát pl. ebben a feladatban h'(3) = -81, tehát az egyenes meredeksége m=-81, ezt valószínű tudod. Az egyenes keresztülmegy a (3, h(3)) ponton, hiszen az x=3-hoz tartozó érintőről van szó. h(3)=-79. Tehát x=3-nál y=-79 mélyen van az egyenes pontja. Mivel az egyenes meredeksége m=-81, ezért x=2-nél 81-gyel magasabban, x=0-nál már 3·81-gyel magasabban jár az egyenes, vagyis az y tengelyt az y=-79+3·81 = 164 pontban metszi. Ez lesz a "b" értéke.

"még mindíg akad olyan amit nem"

például?

Bár udvariatlan dolog smiley-val annyit válaszolni, hogy "azokat mind elmagyarázhatod", megteszem.

1) √x

Máshogy ezt úgy lehet írni, hogy x^(1/2). Ezt biztos tanultátok, tudni kell. (Gondolj arra, hogy hogyan kell hatványt négyzetre emelni: a hatványkitevőt meg kell szorozni kettővel. 1/2·2 = 1, vagyis (x^(1/2))² = x¹ = x)

Szóval √x deriváltja ugyanaz, mint x^(1/2) deriváltja. Hatvány deriváltja pedig így kell:

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

Most n = 1/2, n-1=-1/2. Tehát:

(√x)' = 1/2·x^(-1/2)

Negatív hatvány a szám reciproka: x⁻¹ = 1/x

Most tehát x^(-1/2) = 1/(x^(1/2)) = 1/√x

Összevonva:

(√x)' = 1/(2√x)

2) 1/(x-1)

f(x) = 1/(x-1)

1/x deriváltját tudjuk (felteszem, hogy tudod), de itt nem pontosan az van. Vezessünk be egy g(x) függvényt:

g(x) = x-1

A függvényből ez lesz:

1/g(x)

Hivatalosan ezt így szokták írni: f(g(x)) = 1/g(x), de ne ijedj meg ettől a jelöléstől. Lehetne úgy is jelölni, hogy

y = x-1

f(y) = 1/y

Bárhogy is jelöljük, ezt nevezzük összetett függvénynek. Most nem túl bonyolult az összetett függvény, van benne egy reciprok külső függvény és egy x-1 belső függvény.

Összetett függvényt úgy kell deriválni, hogy deriváljuk a külső függvényt, meg a belsőt is, és a kettőt összeszorozzuk.

Az, hogy deriváljuk a külső függvényt, olyankor az f(y)=1/y függvény y szerinti deriválására kell gondolni.

(f(y))' = -1/y²

(Ugye ezt érted, miért? Gondolj arra, amit a √x-nél írtam.)

és mivel y=x-1, ezért a külső függvény deriváltja ez lesz:

-1/(x-1)²

Ezt kell megszorozni g(x) (ha jobban tetszik, y) deriváltjával. x-1 deriváltja pedig 1, tehát marad minden...

3) Ehhez az összetett függvény deriválás dologhoz nézzünk egy érdekesebb függvényt:

f(x) = sin(2x²)

A külső függvény a szinusz, a belső függvény pedig 2x²

y = 2x²

f(y) = sin y

Deriváltak:

(f(y))' = cos y

y' = 4x

A teljes derivált ezek szorzata:

(sin(2x²))' = cos(2x²)·4x

4) derivált és meredekség.

A deriváltat gondolom így tanultátok: lim Δy/Δx

Vagyis az a szám, hogy ha kicsit jobbra mész az x tengelyen, annak hányszorosával megy feljebb a függvény képe az y tengelyen. Ez pedig, gondolj bele, éppen a függvény meredeksége azon a helyen.

---

Ezekből mindent értettél?