Hogy kell csinálni? Matematika (12)

Rajzold be az AB-hez tartozo magassagot.

Ha egy e egyenessel elvagod az AB-vel parhuzamosan a haromszoget, akkor azt egyertelmuen meghatarozza a magassaggal valo metszespontja.

Jeloljuk ezt Te-vel.

A kis haromszog amit Te levag nyilvan kisebb lesz ha a Te szakasz kisebb hiszen ekkor nem csak a magassag, hanem a kis haromszog alapja is csokken. A levagott terulet tehat monoton fuggvenye a CTe szakasznak. Vagyis minden adott terulethez legfeljebb egy megfelelo egyenes huzhato.

A levagott kis haromszog es a megmarado trapez teruletenek az aranya 1:3, de nem tudjuk milyen sorrendben. Ezert ketfele megolda lesz, attol fuggoen, hogy a levagott kis haromszog vagy a trapez lesz-e nagyobb teruletu.

Jeluljuk az e egyenes es az AC oldal metszespontjat C'-vel, az e egyenes es a BC oldal metszespontjat B'-vel.

Mivel A'B' parhuzamos a AB-vel

az ABC haromszog es az AB'C' haromszog szogei megegyeznek, ezert hasonloak lesznek.

Jeloljuk a hasonlosag aranyat jeloljuk k-val,

Az ABC haromszog magassagat m-mel, az A'B'C haromszog magassagat m'-vel.

Ekkor:

m'=k*m

A'B' = k* AB

Ha a levagott haromszog a kisebb, akkor a kis haromszog terulete a nagy haromszog teruletenek a negyede (a trapeze meg a haromnegyede), vagyis:

m*AB/2=4*m'*AB'=4*k*m*k*AB/2

egyszerusitve m-mel es AB-vel:

1=4*k*k

Vagyis k=1/2

Ekkor tehat az egyenes haromszogbe eso szakasza:

A'B'=AB/2 = 3,5

A trapez sarai:

A'C=AC/2 vagyis AA' = 5-2,5=2,5

B'C=BC/2 vagyis BB' = 6 -3 = 3

Ha a levagott haromszog terulete a nagyobb, akkor a levagott haromszog terulete az ABC haromszog teruletenek a 3/4 resze, es a trapez az 1/4 resze.

3*m*AB/2=4*m'*AB'=4*k*m*k*AB/2

egyszerusitve m-mel es AB-vel:

3=4*k*k

Vagyis k= gyok(3)/2 = 0,866

Ekkor tehat az egyenes haromszogbe eso szakasza:

A'B'=AB*0,866 = 7,62

A trapez szarai:

A'C=AC*0,866 vagyis AA' = 5-4,33= 0,67

B'C=BC*0,866 vagyis BB' = 6 - 5,196 = 0,804

Szamold at nemkapkodtam-e el valamit, itt nagyon noszogatnak a hatterben, hogy szakadjak mar le a geprol.

Egy kicsit másabb -általános - megoldás.

A jelölések a következő helyen

[link]

A feladat szerint a területek aránya

n = t/(T - t)

A számlálót és nevezőt elosztva t-vel

n = 1/(T/t - 1)

A két terület

T = c*M/2

t = d*m/2

Az arányuk

T/t = c*M/d*m = (c/d)*(M/m)

A DEC és ABC hasonló háromszögekből

M/m = c/d

ezt behelyettesítve az előző képletbe

T/t = c²/d²

A területarány képletbe behelyettesítve

n = 1/(c²/d² - 1)

Ebből számítható a 'd' szakasz hossza

d = c*√[n/(1 + n)]

A gyök alatti mennyiség legyen

q = √[n/(1 + n)]

így a 'd' szakasz hossza

d = c*q

=======

ill.

q = d/c

A trapéz szárai

s(a) - a háromszög 'a' oldalára eső szár

s(b) - a háromszög 'b' oldalára eső szár

A DEC és ABC hasonló háromszögekből

a/c = (a - s(a))/d

ebből s(a)-t kifejezve

s(a) = a*(1 - d/c)

a d/c értékét behelyettesítve

s(a) = a*(1 - q)

===========

Ennek mintájára az s(b) értéke

s(b) = b*(1 - q)

===========

Mivel a feladatnak két megoldása van, attól függően, hogy a háromszög vagy a trapéz területe a kisebb, két q érték lesz az n értékétől függően

n = 1/3 --> q = (√3)/2

n = 3 ---> q = 1/2

DeeDee

**********