(250,144) =? megmondjátok nekem a legnagyobb közös osztóját? Prímtényezőre felbontottam de tovább nem megy.

Gondolom ez jött ki:

250 = 2·5³

144 = 2⁴·3²

Melyek az osztói? Abból van sok... pl. az elsőnek az 1, 2, 5, 10, stb., a másodiknak meg az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 6, stb.

Mik a közös osztói? Az már kevesebb, ha jól látom csak az 1 meg ezen kívül még egy, amit nem árulok el. Vagyis most csupán két közös osztója van.

Melyik a legnagyobb közös osztójuk? Hát nem az 1, hanem a másik, amire remélem rájössz.

Hogyan lehetne egyszerűbben rájönni a legnagyobb közös osztóra, nem csak így, hogy sok osztót felír az ember? Hát úgy, hogy bármelyik osztót is nézzük, az is csak azokból a primtényezőkből lesz összerakva, mint amiből a szám is van. Vagyis a közös osztók olyanok, amikben olyan prímtényezők vannak, ami mindkét szám prímfelosztásában benne van. A legnagyobb közös osztóban az összes prímtényező benne van, ami közös a két számnál.

Szóval sorba kell menni a prímeken:

- Az első a 2. Abból az első számban 1 darab van, a másikban meg 4. Vagyis van 1 darab közös 2-es.

- Van 5 is, de csak az egyikben, az nem közös

- Van 3 is, de csak a másikban, az sem közös

Ugye kijött, hogy mi a legnagyobb közös osztó?

Írok egy másik példát: (144, 156)

prímtényezők:

144 = 2⁴·3²

156 = 2²·3·13

Nézzük sorban a prímeket, először a 2-őt: 144-ben 2⁴ van, 156-ban 2², tehát 2² a közös 2 hatvány osztó.

A 3: 144-ben 3² van, 156-ban 3¹, tehát 3 a közös, ami mindkettőben van.

Van még 13-as prímtényező, de csak a 156-ban, tehát ez nem közös.

Tehát a közös prímtényező-hatványok a 2² és a 3. Ezek szorzata a legnagyobb közös osztó, ami 2²·3, vagyis 12.