A FUVOLÁS szó betűiből kisorsolunk négyet, és egymás után írjuk őket. Hányféle különböző betűsort kaphatunk így?

7 fele betu mehet az elso helyre,

6 fele a masodikra,

5 fele a harmadikra

4 fele marad a negyedikre.

Ezert aztan 7*6*5*4=840 kulonbozo betusor kaphato.

Hasonloan az elozohoz: 5*4*3*2=120.

Azt hogy miert igy kell csinalni erdemes kisebb peldakon vegig gondolni.

Pl: egy 2 savos zaszlot kell kiszinezni. A legfelso szin lehet piros , kek vagy fekete, az also lehet zold vagy sarga. Hany fele modon szinezheto ki a zaszlo?

Miert 3*2 fele modon. A felso csik lehet 3 fele, es akarhogy valasztasz mind a harom esetben az also csik lehet ket fele. Tehat 3*2 kulonbozo szinezes van.

Nagyobb szamokkal ugyanez megy.

Ez a gyümölcsös feladat neve ismétléses kombináció.

Először az ismétlés nélküli kombinációt érdemes nézni, ezt NAGYON gyakran kell használni. Pl. egy ilyen feladat: Van az osztályban 30 gyerek. Az ofő kiválaszt kettőt egy feladat elvégzésére. Hányféleképpen lehetett kiválasztani a 2 gyereket?

Az első gyerek lehet 30 féle, a második 29. Tehát összesen 30·29. Viszont ebben benne van az is, hogy Annát kiválasztotta elsőnek, Bélát meg másodiknak, és az is, hogy pont fordítva, elsőnek Bélát, másodiknak Annát. Ezek viszont nem különböző esetek, mert a sorrend nem számít. Ezért a 30·29-et osztani kell kettővel.

Abban az esetben, ha 4 gyereket kellett kiválasztani, akkor a 30·29·28·27-et már nem kettővel, hanem annyival kell osztani, ahány féleképpen a 4 gyereket egymás között sorba tudjuk rakni. Az éppen 4!, tehát ennyivel kell osztani.

Ez olyan sokszor előforduló számolás, hogy kitaláltak rá egy külön jelet: Egy nagy zárójelben felül van a 30, alatta a 4, és úgy mondjuk, hogy 30 alatt a 4. A jelentése pedig 30·29·28·27/4!.

Bármikor, amikor arról van szó, hogy n dologból ki kell választani k darabot úgy, hogy teljesen mindegy a sorrendjük (mert utána összekeveredhetnek), akkor n alatt a k-val kell számolni. Ezt hívják ismétlés nélküli kombinációnak.

Most jön az ismétléses kombináció. Ilyenkor ugyanazt a dolgot többször is kiválaszthatjuk, pont úgy, mint a feladatodban a gyümölcsöket. A kérdés csak az, hogy hányféle elrendezés lehet. Az egyik pl. olyan, hogy 3 szőlő meg 2 meggy. Egymáshoz viszonyított sorrend nem számít, csak hogy melyikből hány darab van.

Ha n elemből k darabot ismétlésesen választunk ki (úgy is szokták mondani, hogy visszatevéssel), azt n+k-1 alatt a k féle módon lehet megtenni. Hogy miért pont ennyi, azt most nem magyarázom el, kicsit bonyolultabb, mint az előbb volt. Egyszerűen meg kell jegyezni.

A mostani esetben tehát n=3 fajta gyümölcsből választunk ki k=5-öt, azt 3+5-1 alatt a 3, vagyis 7 alatt a 3, vagyis 7·6·5/(3·2) vagyis 35 féleképpen lehet megtenni.

A feladatodat lehetett úgy is érteni, hogy számít az is, hogy milyen sorrendben van aztán az az 5 gyümölcs a mérleg alatt. Erre most nem is tudok értelmes képletet, szerintem nem is úgy lehetett a kérdés, hanem csak úgy, hogy "hányféle módon tudja kiválasztani a gyümölcsöket a mérleg alá".

Ja, bocs, rájöttem, hogy máshogy is értelmes a gyűmölcsös kérdés, biztos nagyon éjszaka volt már tegnap, hogy nem jöttem rá rögtön...

Szóval ha sorban, ahogy belenyúl valamelyik tartóba és kivesz egyszerre EGY gyümölcsöt, azt rögtön le is rakja a mérleg alá. Aztán a következőt megint a három közül bármelyikből veheti, és mellé teszi az eddig lerakottaknak. (Ekkor számít a sorrend, és ismétlés is lehet: ezt ismétléses variációnak hívják, de végülis mindegy, mi a neve.)

Az a helyzet, hogy ez talán a legegyszerűbb az összes kombinatorikai dolog között. Ha van 3 kategória, akkor első helyre 3 félét tehet, aztán a második helyre szintén, és így tovább, mindegyik helyre 3 féle kerülhet. Ha 5 hely van, akkor ez 3⁵ féle lehetőség.

Elnézést, hogy nem jöttem rá rögtön, és a bonyolultabbat magyaráztam. De talán nem volt az sem felesleges...