Hogyan kell megoldani az alábbi számtani sorozathoz kapcsolódó példát?

Számtani sorozat esetén az egymást követő tagok különbsége állandó.

Másképpen: egy tag az előző tag + "d".

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d

a₁² + (a₁ + d)² = 52

(a₁ + d)² + (a₁ + 2d)² = 100

Szerintem ebből ki tudod számolni.

Két ismeretlen, két egyenlet. :)

Jeloljuk a sorozat elso harom elemet inkabb a,b,c-vel,

attekinthetob lesz a gepelt valtozat.

A negyzetre emelesre a szokasos ^2 jelet fogom hasznalni.

Ekkor az egyenleteid ugy neznek ki, hogy:

a^2+b^2=52

b^2+c^2=100

Jeloljuk a sorozat differenciajat d-vel.

Ekkor

b=a+d vagyis a=b-d

c=b+d

Na akkor most ezeket felhasznaljuk az egyenleteidben.

(b-d)^2 + b^2 = 52

b^2 + (b+d)^2 = 100

Ez igy azert lesz jo, mert igy csak ket valtozonk van amit ki kell szamolni. A hokusz-pokusz feljebb arra volt jo, hogy a valtozok szamat 3-rol 2-re csokkentsuk.

A zarojel felbontasa utan azt kapjuk, hogy

2b^2+d^2 - 2bd = 52

2b^2+d^2 + 2bd = 100

A masodik egyenletbol az elsot kivonva azt kapjuk, hogy

4bd = 48

vagyis bd = 12.

Ebol mar ki lehet fejezni az egyik valtozot, pl:

b=12/d

Ha a pozitiv egesz szamok halmazan van csak szukseed megoldasra, akkor az tovabb egyszerusitene a probleman.

A ket egyenletet osszeadva azt kapjuk, hogy:

4b^2+2d^2=152

vagyis: 2b^2+d^2=76

b=12/d behelyettesitese utan:

2(12/d)^2 + d^2 =76

288/d^2 + d^2 = 76

Megszorozva mindket oldalt d^2 -tel es atrendezve azt kapjuk, hogy:

d^4-76d^2+288=0

Ez szorzatta irhato vagy masodfoku megoldokeplettel megoldhato:

(d^2-4)(d^2-72)=0

a negyzetgyok fuggvenyt ugy jelolve, hogy gyok(x) ebbol azt kapjuk, hogy:

d=2 vagy d=6*gyok(2)novekvo szamtani sorozat eseten,

illetve d=-2 es d=-6*gyok(2) csokkeno szamtani sorozat eseten.

Ha d=2 akkor a sorozat 4,6,8

ha d = -2, akkor a sorozat -4, -6, -8

ha d= 6*gyok(2), akkor a sorozat -5*gyok(2), gyok(2), 7*gyok(2)

ha d=-6 gyok(2), akkor a sorozat 5*gyok(2), -gyok(2), -7*gyok(2)

Ha csak egesz szamokon kell megoldani a feladatot akkor persze a megoldas is egyszerubb, meg a gyokos eredmenyektol is tekints el.