Hány centiméter az MNC háromszög kerülete?

Megoldás 17cm

Az ABC és NMC háromszögek hasonlóak: MN=k*AB; NC=k*AC; MC=k*BC

A beirt kor kozeppontja az O pontban van. Kiszamitjuk a suagarat Heron keplete alapjan

r=sqrt((s-AB)*(s-AC)*(s-BC)/s)=sqrt(77)/(2*sqrt(3))

Az N pontbol merolegest bocsatok az AB egyenesre, ami egzenlo r-rel, a metszespont legzen F

Az A pontnal levo szog cosinusa a cosinustetel alapjan:

BC^2=AC^2+AB^2-2*AC*AB*cosA

Innen cosA=83/160

sinA=sqrt(1-cos^2A)=(9*sqrt(3)*sqrt(77))/160

Az ANF haromszogbol:

sinA=r/AN AN=r/sinA=80/27; Innen NC=8-80/27=136/27

Innen k=(136/27)/8=17/27

MN=170/27

MC=153/27

Az NMC haromszog kerulete NC+MN+AB=17

Adott

a = 10 cm (AB)

b = 9 cm (BC)

c = 8 cm (CA)

A beírt kör középpontján átmenő, az 'a' oldallal párhuzamos egyenes (MN)

a' (MN)

b' (NC)

c' (CM) szakaszok

a kis háromszög oldalai

K' = ?

A párhuzamos szelők tételéből adódóan a kis háromszög oldalaira írható

a' = q*a

b' = q*b

c' = q*c

így a kerülete

K' = q(a + b + c) = q*2s

ahol

2s = a + b + c

a nagy háromszög kerülete

ezért

K' = q*K

A megoldáshoz tulajdonképpen csak a 'q' arányossági tényezőt kell meghatározni.

A feladatban 'O'-val jelölt pont a beírt kör középpontja.

Behúzva a nagy háromszög 'a' oldalhoz tartozó magasságát és az 'O' ponton átmenő, 'a'-val párhuzamos egyenest, az ABC és az MNB hasonló háromszögek alakulnak ki.

A hasonlóságból adódóan

q = a'/a = m/M

ahol

m - a kis háromszög

M - a nagy háromszög magassága

Mivel

m = M - r

a'/a = 1 - r/M

A területre érvényes képletből, miszerint

T = r*s

r = T/s

és az 'a' oldalhoz tartozó magasság

M = 2T/a

Ezeket behelyettesítve a 'q' képletébe adódik

q = 1 - a/2s

q = 1 - a/K

Vissza a kis háromszög kerületképletéhez

K' = q*K

a 'q' értékét beírva

K' = (1 - a/K)*K

így

K' = K - a

========

tehát a kis háromszög kerülete egyenlő: a nagy háromszög kerülete minusz az 'a' oldal hossza

Behelyettesítve

K ' = 27 - 10

K' = 17

DeeDee

**************

Tudom, udvariatlanság kérdésre kérdéssel válaszolni, de érdekelne, mit nem értesz a levezetésben? Nem tanultatok a hasonló háromszögekről? Mert az ezekben felírható összefüggések elegendők a megoldáshoz.

Őszintén szólva zavarban vagyok, mert igyekeztem olyan megoldást adni, ami a legminimálisabb ismeretekkel is érthető. Sajnálom, hogy nem sikerült. :-(

De hogy a kérdésedre is válaszoljak: régen kikoptam már az iskolapadból. :-) Meg nem hiszem, hogy a kornak bármi jelentősége lenne, a matek nyelve kortalan. Amúgy mit jelent, hogy: felsős? hanyadik osztályba jársz tulajdonképpen?

Ha úgy gondolod, hogy segít, csinálok egy rajzot is, azzal talán világosabb lesz a megoldás.

DeeDee

************

Itt az ígért rajz, remélem segít a megértésben.

[link]

Tetszik az érdeklődésed! :-)

Ne zavarjon, ha olyan dolgokkal találkozol, amiket még nem tanultál. Majd sor kerül rá.

Remélem, valamikor még tudod használni ezt a levezetést.

Nem tudom, hogy a kérdezőt miért nem érdekli. :-(