Mennyi az ab+ac összeg, ha aba+ba+7c^2=c^3, ahol a, b, c nullától különböző számjegyek? Megjegyzés: ab, ac, ba kétjegyű és aba háromjegyű természetes számok.

Az ilyen feladatoknál rendszerint úgy érdemes elindulni, hogy a számokat felírjuk összegalakban. Például a 245 szám felírható úgy, hogy 2*100 + 4*10 + 5*1, vagyis a számjegyeket megszorozzuk a helyiértékükkel, aztán összeadjuk a szorzatokat.

Ebben az esetben:

a*100 + b*10 + a + b*10 + a + 7c^2 = c^3, majd össze tudunk vonni:

102a + 20b + 7c^2 = c^3, vonjunk ki 7c^2-et:

102a + 20b = c^3 - 7c^2

Első körben vegyük észre, hogy a jobb oldalon egy kivonás van, aminek értéke lehet negatív is, nekünk viszont csak az a jó, hogyha a jobb oldal értéke pozitív, ezért oldjuk meg a

c^3 - 7c^2 > 0 egyenlőtlenséget. Hozzáadunk 7c^2-et:

c^3 > 7c^2, mivel c^2 biztosan pozitív, ezért gond nélkül oszthatunk vele:

c > 7, ami azt eredményezi, hogy c értékeire csak a 8 és a 9 jöhet számításba. Ennek megfelelően menjünk tovább az egyenletben;

Ha c=8, akkor

102a + 20b = 64, viszont a 64 nem háromjegyű, ezért ez nem lehet jó megoldás.

Ha c=9, akkor

102a + 20b = 162, ebből egyértelműen látszik, hogy a értéke csak 1 lehet:

102 + 20b = 162, kivonunk 102-t:

20b=60, erre b=3 adódik.

Tehát a=1, b=3, c=9, így ab+ac = 13+19 = 32.