Honnan tudom,hogy egy matematikai kifejezés a legegyszerübb alakban van?

Ez az úgynevezett algebrai tört, amire konkrét egyszerűsítési mechanizmus létezik. Általánosságban igaz, hogyha van olyan x, amire 0/0 alakú lesz a tört, akkor egyszerűsíthető, tehát meg kell néznünk, hogy a számlálóban és a nevezőben lévő kifejezés mikor 0. Ehhez tegyük őket egyenlővé 0-val, és oldjuk meg a kapott egyenleteket.

2x^2+8x-10 = 0, ennek két megoldása x=1 és x=-5

(x^2+3x-4) = 0, ennek pedig x=1 és x=-4

Látható tehát, hogy mindkét egyenletben megoldás lett az 1, tehát ha x helyére 1-et írunk, akkor 0/0 alakú lesz a műveletek eredménye, így a fentiek értelmében egyszerűsíthető.

Ahhoz, hogy ezt meg tudjuk tenni, tudnunk kell az úgynevezett gyöktényezős alakot:

Minden, zérushelyekkel rendelkező másodfokú kifejezés felírható a*(x-x1)*(x-x2) alakban, ahol 'a' a kifejezés főegyütthatója (ami x^2 előtt áll), x1 és x2 pedig annak zérushelyei. Jelen esetben:

2x^2+8x-10 = 2*(x-1)*(x-(-5)), vagyis = 2*(x-1)*(x+5), ha kibontod a zárójeleket, akkor az eredetit fogod visszakapni,

x^2+3x-4 = (x-1)*(x-(-4)) = (x-1)*(x+4), itt is.

Tehát az algebrai törtünk így néz ki:

2*(x-1)*(x+5)

_____________

(x-1)*(x+4)

És ebben látható módon tudunk (x-1)-gyel egyszerűsíteni:

2*(x+5)

_______

x+4

Ha nagyon szeretnéd, a zárójelet is ki lehet bontani, de nem muszáj.

Még annyit meg kell említenünk, hogy a kapott kifejezés értelmes lenne x=1 esetén (a helyettesítési érték 12/5), viszont az eredeti nem volt ott értelmes, tehát most ez sem értelmezett x=1-ben, ezen kívül még x=-4 esetén nem értelmes, minden más valós számra értelmes.