Mennyivel egyenlőek, illetve számítsuk ki az a és b nullától különböző természetes számokat, amelyekre a^(b-2024) +a=2025 ?

Ez is volt már:

https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazif..

Csak nem KöMAL feladatokat oldatsz itt:

Ha b=2024, akkor

a^0 + a = 2025, vagyis

1 + a = 2025, ennek megoldása

a = 2024.

Ha b>2024, akkor a bal oldal osztható 1-szer a-val, ezért nézzük meg, hogy a 2025 milyen számokkal osztható;

2025|3

675|3

225|3

75|3

25|5

5|5

1

Tehát 2025 = 3^4 * 5^2

Ez azt jelenti, hogy a 2025-nek (4+1)*(2+1) = 15 darab osztója van, amiket össze is tudunk szedni;

1*2025 ; 3*675 ; 5*405 ; 9*225 ; 15*135 ; 25*81 ; 27*75 ; 45*45

Tehát ezek a számok jöhetnek szóba az 'a' helyére.

Ennek ismeretében rendezhetjük az egyenletet;

a^(b-2024) + a = 2025

a^(b-2025) + 1 = 2025/a

a^(b-2025) = 2025/a - 1

Ha b=2025, akkor manuálisan végigszámolhatjuk, hogy a-ra egész nincs megoldása.

Ha b>2025, akkor a bal oldal még mindig osztható a-val, így a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie. Az oszthatósághoz az mindenképp kellene, hogy 'a' kisebb legyen a jobb oldalnál, vagy legfeljebb akkora, ennek megfelelően felírhatjuk ezt az egyenlőtlenséget;

a <= 2025/a - 1, szorzunk a-val (ami pozitív):

a^2 <= 2025 - a, rendezés után

a^2 + a - 2025 <= 0, ennek pozitív megoldáshalmaza 0 <= a <= ~44,5, ezzel 'a' lehetséges értékeit le tudtuk szűkíteni ezekre a számokra: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27

Innentől ha az 'a' helyére beírjuk külön-külön a számokat, akkor kapunk 7 darab exponenciális egyenletet, amiket külön-külön meg tudunk oldani. Szebb megoldást egyelőre nem látok.