Algebra feladatban valami hint vagy segítség?

Ha esetleg elkezded próbálgatni a számokat egyesével, akkor n=8-at meg tudod találni.

Ha tovább próbálgatsz, akkor azt veheted észre, hogy ha a szám felénél nagyobb számokkal osztod a számot, akkor az 1;2;3;... maradékok mind megjelennek, azt kellene megadni n függvényében, hogy ebben a sorozatban a maradékok között mi az utolsó (legnagyobb) szám. A következő szabályszerűséget tudjuk észrevenni;

-ha n páros, akkor az utolsó maradék az (n/2)-1, a maradékok darabszáma pedig szintén (n/2)-1. Ha tanultad a számtani sorozat összegképletét, akkor elmondható, hogy az 1+2+3+...+(n/2)-1 sorozat összege:

(1 + (n/2)-1)*((n/2)-1)/2 = ... = n^2/8 - n/4

Mivel ez egy másodfokú kifejezés, ezért elég gyakran nagyobb lesz n-nél, ezért nézzük meg, hogy milyen esetén lesz ez nagyobb:

n^2/8 - n/4 > n, ennek (pozitív) megoldása n>10

Tehát ha n nagyobb, mint 10, akkor a felénél nagyobb számokkal osztva n-et a kapott maradékok összege már meghaladja n-et, tehát n>10 páros szám nem lehet az eredeti egyenletnek megoldása. 10 alatt pedig manuálisan lehet őket vizsgálni.

-ha n páratlan, akkor a legnagyobb maradék (n-1)/2-ként írható fel, és a darabszámuk is ennyi lesz. Újra elővesszük a számtani sorozat összegképletét:

(1 + (n-1)/2)*((n-1)/2)/2 = ... = n^2/8 - 1/8

Itt is nézzük meg, hogy ez n-nél mikor lesz nagyobb:

n^2/8 - 1/8 > n, ennek pozitív megoldása n>~8,12, vagyis n>=9. Vagyis ha n legalább 9 és páratlan, akkor bizonyos maradékok összege meg fogja haladni az n számot.

Ezek alapján, összességében tehát 9-nél kisebb páratlan számok és 10-ig bezárólag a páros számok között lehet csak megoldása az egyenletnek. Azok között manuálisan vizsgálódva egyedül n=8-at találjuk, tehát ez az egyetlen megoldás.

A levezetéshez még az kell, hogy bizonyítsuk, hogy páros és páratlan számok esetén azok felénél nagyobb számmal osztva ezek a maradékok lesznek, ezt a részt meghagyom neked.