Egy körív 10 méter hosszú: Egy tized millimétert görbül a ketdőpontjához húzott körérintőhöz képest, hány kilóméter a kör kerülete?

Ezek szerint akkor megvan az egyenlet? Mármint ha ahhoz a kérdéshez írtak egy képletet, akkor át tudod azt úgy írni, hogy a kijött végeredmény helyére az itteni 0,1 mm-t írod, és a Föld kerületének helyére pedig az ismeretlen K-t?

Mármint ha az megvan, és kihasználod, hogy a 0,1 mm sokkal, de sokkal kisebb, mint a 10 m, akkor lényegében egy lineáris egyenletet kapsz. (Ha nem használod ki, és az adott 10 méteres köríved akár nagyobb is lehet a kerületnél, akkor persze nem olyan szép a dolog, és az úgy kapott egyenletnek az itteni adataiddal mintegy 63 660 darab megoldása lesz – vagy egy-kettővel több vagy kevesebb, de kábé ennyi –, például a K1 ≈ 0,010178572571724 km vagy a K2 ≈ 0,0099821745738162 km, esetleg a K20 ≈ 0,0011117721254804 km, hogy csak néhány nagyobbacskát említsek.)

Oké, egy picit rosszul írtam, nem csak az kell, hogy a 0,1 mm sokkal kisebb, mint a 10 méter, hanem hogy azt is feltételezzük, hogy a 10 m jóval kisebb, mint a kerület, akkor már jól közelíthető a probléma egy lineáris egyenlettel. (Aminek hány megoldása is lehet összesen? Mondjuk, ha nem azonosság, mert akkor végtelen sok, de amúgy, legfeljebb?)

Csak ugye ha ez házi feladat, akkor legalább az egyenletet le tudod írni ide? Már ha tényleg gondolkoztál rajta. Amúgy meg persze bemásolhatom a megoldást a füzetemből, de ha az egyenletet sem érted, és az ábrát is magyaráznom kell, akkor az veszett fejsze nyele… Azért végtelen sok időm nincs mindent elmagyarázni, ha abban se segítesz, hogy mit nem kell már elmagyarázni.

(A többi megoldáshoz meg képzeld el a problémát. Ha pont 10 méter lenne a kerülete, akkor 10 métert haladva rajta milyen messze lennél az érintőtől, aminek az érintési pontjából elindultál? Vagy ha 5 méter lenne a kerület? Vagy ha 2,5 m vagy 2 m…? Egy 3 cm kerületű körön körbe-körbe járva összesen 10 métert, hányszor leszel 0,1 mm-re az érintőtől?)

Tehát van egy 10m hosszú körívünk. (Nem teljes kör, körív!) Az egyik végpontja 0,1mm-re van a másik végpontjába hútott érintőtől. A kérdés: mekkora a körívhez tartozó sugár.

Egy közelítő megoldás:

Rajzoljuk fel a két végpontba menő sugarakat. Ezek és az érintő kialakítanak egy derékszögű háromszöget. Az egyik befogó r. A másik befogó hossza közelítőleg egyenlő a körív hosszával. 10 m. Az átfogó közelítőleg r+0,1mm.

r^2+10000^2=(r+0,1)^2

r=5*10^8 mm=5*10^5 m= 500 km.

Ennyi. :-)

> „Tehát van egy 10m hosszú körívünk. (Nem teljes kör, körív!)”

Még a szigorú körív definícióval is (tehát ha a körívhez tartozó középponti szög kisebb, mint a teljes szög) 2 megoldás van.

Amúgy a pontos egyenlet ugye (a kerületre felírva, ha egyszer az van a kérdésben):

1 – cos(2*π*s/K) = 2*π*d/K,

ahol s = 10 m az ív hossza, és d = 0,1 mm a távolság az érintőtől.

Ha feltételezzük, hogy s ≪ K, akkor a koszinusz argumentuma jóval kisebb, mint 1, így Taylor-sorba fejthetjük (cos(x) ≈ 1 – x^2/2, ha x ≪ 1):

1 – (1 – (2*π*s/K)^2/2) = 2*π*d/K,

K = π*s^2/d = π*(100 m)^2/(0,1 mm) ≈ 3141,593 km,

ami egyrészt valóban több, mint 100-szor nagyobb, mint a megadott s érték, így a közelítésünk jogos volt, másrészt krwkco válaszával konzisztens.

Ha még pontosabban érdekel, vagy a d/s hányados nem ilyen kicsi, akkor persze lehet tovább menni sorfejtésben.

[link] WA input: 1 – cos(2*π*10/K) = 2*π*1e-4/K, K > 9 (a linken a távolságértékek méterben értendők.) Lehet a [More digits] gombot nyomogatni a megoldásoknál.

De persze így most sem derült ki, hogy a kérdező gondolkozott-e valójában a problémán…

Kicsit átfogalmazom az előző válaszom végeredményét:

Úgy érdemes csinálni, hogy

fogod a pít (π ≈ 3,14159…),

ezt megszorzod az adott ívhosszal (ami az esetedben 10 m),

amit így kapsz, azt megint megszorzod az ívhosszal (ami megint csak 10 m),

végül ezt elosztod azzal, hogy ezalatt milyen távol kerültél a kiindulási ponthoz húzott érintőtől (azt hiszem, ezt hívod görbületnek, esetedben ez 0,1 mm = 0,0001 m, de ugye jobb helyeken a görbület a sugár reciproka).

Így kapod a kérdéses kerületet:

3,14159265359*(10 m)*(10 m)/(0,0001 m) = 3 141 592,65 m,

azaz 3 141 km és még szűk 593 méter.

Általánosságban tehát:

kerület ≈ π*(ívhossz)*(ívhossz)/(„görbület”)

Ez mindaddig egész jó módszer, amíg az adott ívhosszad mondjuk több, mint háromszor akkora, mint a „görbület” (az ív végpontjának távolsága az ív kezdőpontjába húzott érintőtől).

> „Kezdetben vegyük fel pl Föld egyenlítő 42 millió méter, kiszámoljuk adott körívhez tartozó görbületét.”

A te megoldásodból kicsit hiányolom, hogy ezt hogyan is csinálod pontosan.

#7

Ez komoly?

Nem csoda, hogy egy hét alatt sem találtál megoldást. Egy halandzsázó ChatGPT ketyeg a fejedben? :-)