Segítene valaki?

Alakítsuk teljes négyzetté a kifejezést;

x^2+x+m = (x + 1/2)^2 - 1/4 + m

Ennek a kifejezésnek x=-1/2-nél lenne a minimuma, viszont a feltételek szerint x csak egész lehet. Ismerjük az (x+1/2)^2 függvény menetét; ha x>=-1/2, akkor szigorúan monoton nő, ha pedig x<=-1/2, akkor szigorúan monoton csökken. Ennek megfelelően a függvény minimuma az egész számok halmazán az x=-1 és x=0 helyeken van, ezekben az esetekben a függvény értéke 1/4.

Ennek megfelelően kérdés, hogy az egész kifejezés minimumértéke mi lehet;

1/4 - 1/4 + m = m, tehát a minimum értéke m.

Mivel a kifejezés minden egész x-re pozitív értéket kell, hogy felvegyen, emiatt m>0, vagyim m mindenképp pozitív egész kell, hogy legyen.

Most oldjuk meg a valós számok halmazán az eredeti egyenlőtlenséget a valós számok halmazán, tudva, hogy m>0:

x^2+x+m>0

Nézzük meg, hogy a kifejezésnek hol vannak a zérushelyei, illetve egyáltalán vannak-e neki, ehhez elég a másodfokú megoldóképlet diszkriminánsát vizsgálnunk;

D = 1^2 - 4*1*m = 1-4m

Mivel m pozitív egész, ezért 1-4m értéke biztosan negatív, emiatt a kifejezésnek nincsenek zérushelyei a valós számok halmazán.

Mivel a főegyüttható értéke a=1, ezért biztos, hogy csak pozitív értékeket vesz fel a kifejezés.

Ezzel igazoltuk az állítást.