Megmagyaraznad? Sehogy sem ertem! En lennek hulye?

A bevezetőből kiderül hogy az A,C,B egy háromszög szögei, erre kell igazolni a

sinA+sinB+sinC = 4cosA/2cosB/2cosC/2

összefüggést.

Nyugi, nem te vagy a hülye, csak megtévesztő az oldalon látható levezetés.

Nem tudom, meddig jutottál benne, de van egy rossz képlet már az elején, ami miatt értelmetlenek a további átalakítások.

De kezdjük az elején.

A továbbiakban csak az azonosság bal oldalával kell foglalkozni, az

F = sinA+sinB+sinC

összeggel.

A háromszög szögeinek összegéből

A + B + C = 180

ebből

C = 180 - (A + B)

és

sinC = sin[180 - (A + B)] = sin(A + B)

sinC = sinA*cosB + cos A*sinB

Behelyettesítve

F = sinA + sinB + sinA*cosB + cos A*sinB

= sinA(1 + cosB) + sinB(1 + cosA)

A feladat az, hogy mindent a félszögek függvényében fejezzünk ki

Itt van a rossz sor a lapon, ugyanis, (1+cosX)/2 = cos²X azonosság NEM IGAZ!

Mindjárt kiderül miért?

A zárójeles kifejezéseket kellene félszögekkel felírni.

Írható

X = 2*(X/2)

cosX = cos[2*(X/2)]

cos X = cos²(X/2) - sin²(X/2) = cos²(X/2) - (1 - cos²(X/2))

cosX = 2*cos²(X/2) - 1

1 + cosX = 2*cos²(X/2) - itt az eredeti levezetésben a cos²(X/2) helyett cos²(X) szerepel, ami nem igaz!!!

Ennek mintájára folytatva az átalakítást

F = sinA(1 + cosB) + sinB(1 + cosA)

= 2*sinA*cos²(B/2) + 2*sinB*cos²(A/2)

A sinusz függvény félszögekkel kifejezve

sinA = sin[2*(A/2)]

sinA = 2*sin(A/2)*cos(A/2) - (a sin2α = 2*sinα*cosα mintájára)

Ezt behelyettesítve

F = 2*sinA*cos²(B/2) + 2*sinB*cos²(A/2)

= 4*sin(A/2)*cos(A/2)*cos²(B/2) + 4*sin(B/2)*cos(B/2)*cos²(A/2)

Kiemelés után

= 4*cos(A/2)*cos(B/2)*[sin(A/2)*cos(B/2) + sin(B/2)*cos(A/2)]

A szögletes zárójelben a az A/2 és a B/2 szögek összegének szinusza van, tehát

F = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sin[(A/2) + B/2)]

Mivel

C = 180 - (A + B)

C/2 = 90 - [(A/2) + B/2)]

és

sin(C/2) = cos(C/2) - /(sin(90-α)= cosα szerint/

így

F = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)

Tehát

sinA+sinB+sinC = 4cosA/2cosB/2cosC/2

=================================

Q.E.D

Remélem, nem tévesztettem el semmit, és el tudsz igazodni a levezetésen.

DeeDee

***********