Mekkorák a háromszog oldalai?

A Héron-képletes megoldás jó, csak az a pici probléma van vele, hogy negyedfokú egyenlet jön ki a végére:

a^4 + 12*a^3 + 18*a^2 - 108*a + 15795 = 0

Aminek a pozitív egész megoldása a megfelelő eszközökkel kinyerhető, csak kérdés, hogy te mennyire ismered azokat. Illetve nem is biztos, hogy az ilyen feladatnál van pozitív egész megoldás, szóval ez a módszer nem egy életbiztosítás. Természetesen a negyedfokú egyenlet megoldóképlete használható bármikor, ha más ötletünk nincs.

Az egyenlet úgy alakult, hogy a szokásos a ; a+3 ; a+6 jelölést választottuk. A számtani sorozatos feladatoknál egy jó trükk szokott lenni, hogy a középső elemet választjuk x-nek, ekkor a többi hozzámérten szimmetrikusan felírható, esetünkben x-3 ; x ; x+3. Ha ezzel írjuk fel az egyenletet, akkor átalakítások után ezt kapjuk:

x^4 - 36*x^2 - 15552 = 0

Ez pedig már egy másodfokúra visszavezethető egyenlet lesz, amelynek pozitív egész megoldása a háromszög KÖZÉPSŐ oldalának hosszát adja meg.

Másik lehetséges megoldás, amit a trigonometriai ismereteinkre hagyatkozik; legyen a három oldal a ; a+3 ; a+6, ekkor a trigonometriából ismert két (illetve 3) számítással tudunk kezdeni;

1. Írjuk fel a koszinusztételt a legkisebb oldallal szemközti szögre, ez legyen α. Azért erre, mert ez biztosan hegyesszögű, azt meg jobban szeretjük:

a^2 = (a+3)^2 + (a+6)^2 - 2*(a+3)*(a+6)*cos(α)

2. Ugyanerre a szögre fel tudjuk írni a szinuszos területképletet:

(a+3)*(a+6)*sin(α)/2 = 54

3. Ismerjük továbbá azt az összefüggést, hogy

sin^2(α) + cos^2(α) = 1, ebből rendezés után sin(α) = gyök(1 - cos^2(α)) lesz. A gyökvonás miatt kellene a ±, de mivel az α szög hegyesszögű, ezért szinusza biztosan pozitív. Ezt helyettesítsük be a szinusz helyére a 2. egyenletben:

(a+3)*(a+6)*gyök(1 - cos^2(α))/2 = 54, rendezés után:

1 - cos^2(α) = (108/((a+3)*(a+6)))^2, végül

gyök(1 - (108/((a+3)*(a+6)))^2) = cos(α), és ezt be tudjuk helyettesíteni az első egyenletben a cos(α) helyére:

a^2 = (a+3)^2 + (a+6)^2 - 2*(a+3)*(a+6)*gyök(1 - (108/((a+3)*(a+6)))^2)

De ezzel is ugyanaz a negyedfokú egyenlet fog kijönni, amit nehezen tudunk megoldani, illetve ha a másik jelölést használjuk, akkor ugyanaz a másodfokúra visszavezethető negyedfokú egyenlet fog kijönni.

A szémtani sorozat esetén bármely tag a mellette fekvő kettő számtani közepe, így az oldalak jelöljük inkább (a-3); a; (a+3) formában. kicsit szebb lesz így. Használjuk fel a háromszög-egyenlőtlenséget, eszerint

(a-3)+(a+3)>a, ami triviálisan teljesül a definíció miatt,

(a-3)+a>a+3 -> 2a>a+6 -> a>6,

a+(a+3)>a-3, ami megint mindig teljesül.

Na most jön egy érdekes probléma: ha egy háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak, akkor a hozzá hasonló háromszögek is számtani sorozatot alkotnak. Ez a számtani sorozat definíciójából és a hasonlóság definíciójából belátható:

k*((a-d);a;(a+d))=((ka-kd);ka;(ka+kd)). Válasszuk a k=1/a tényezőt! Ekkor az oldalak (1-d/a);1;(1+d/a) lesznek, ebben már csak a az ismeretlen.

Na, majd folytatom, addig meghagyom a felfedezés örömét nektek is. Addig ebédeljünk!

@8: Még nem végeztem vele, volt néhány egyéb dolgom is. Egylőre úgy néz ki, hogy így a negyedfokú egyenlet hiányos lesz, így könnyen bontható két másodfokú kifejezésre.

amúgy van nevem, nem kopik el a használatban.