Egy polcon 33 könyv van. Hányféleképpen tudunk 9 nem szomszédosat kiválasztani?

Minden kiválasztást tudunk egy 0-1 kódsorral kódolni, ahol az 1 azt jelenti, hogy azon a helyen a könyv kiválasztásra került, egy ilyen kódban pontosan 9 darab 1-es és 24 darab 0 szerepel. Mivel szomszédos könyveket nem választhatunk ki, ezért azt tudjuk biztosan elmondani, hogy mindegyik 1-es szomszédságában csak 0-k lehetnek. Az 1-esnek háromféle elhelyezkedése lehet; vagy a két szélén vannak, tehát a kódban 10 vagy 01 van az elején vagy a végén, vagy valahol középen, akkor 010 szerepel. Ebben a formában viszont eléggé macerás a számolás, ezért teszünk bele egy kis csavart; minden jó kiválasztást a két szélén megtoldunk egy-egy 0-val. Ezt azért tehetjük meg, mert könnyen észrevehető, hogy ha a két 0-t visszatöröljük, akkor egyértelműen visszakapjuk a kiválasztás kódját. Ez pedig azért jó nekünk, mert ebben a felállásban mindegyik 1-esre igaz lesz, hogy a szomszédjaik 0-k lesznek, valamint -ha megfelelően permutálunk- az 1-es a szélére nem tud kerülni.

Most minden kód két részre bontható; vannak ezek a 010 részek, amiknek fixen meg kell jelenniük, és ezen kívül vannak a 0-k. Ezért gyakorlatilag azt is megtehetjük, hogy ezeket a 010 részeket lecseréljük például egy X-re. Így pedig a kódunkban lesz 9 darab X és 17 darab 0, amiket már bármilyen megkötés nélkül tudunk permutálni, megkapva ezzel az összes lehetséges kiválasztási módot, tehát a végeredmény: 26!/(9!*17!), vagy másként: (26 alatt a 9).

Fogalmazzuk át a feladatot.

Van 24 könyvünk. Be akarunk még tenni 9-et közéjük, lehet az elejére is, és a végére is tenni, ez ugye 25 hely. Ezt (25 alatt a 9) -féleképpen tehetjük meg. Kész.

Az én (#1) megoldásomban ott a hiba, hogy ha két kiválasztott könyvnek lenne közös szomszédja, vagyis a 01010 rész szerepelne, akkor nem tudnánk következmények nélkül a 010 részt X-re cserélni. Valójában olyan egyszerű a feladat, ahogy a #2 megoldotta.

A gond az volt, hogy belekevertem egy másik feladatot, ami csak kevésben tér el ettől; abban a feladatban az a megkötés is van, hogy a kiválasztott könyveknek nem lehet közös szomszédjuk sem, vagyis két kiválasztott könyv között legalább két nem kiválasztottnak kell lennie. Abban az értelmezésben viszont már jó lenne az 1-es megoldás.

#5, aha, és akkor „kiválasztással” hogyan oldanád meg azt az értelmezést, amit én írtam? ...

Tessék, hogy egyértelmű legyen, mire gondolok; egy polcon lévő 33 könyvből hogyan lehet 9 könyvet KIVÁLASZTANI úgy, hogy bármelyik kettő között legalább 2 olyannak is kell lennie, amik nincsenek kiválasztva?

#6 Sehogyan nem oldanám meg, mert az egy helytelen értelmezés.

A helyes értelmezés klasszikus eseménytérben az amit a #2-es válaszadó írt le: A polcon lévő könyvek mellett fixen ott vannak az üres helyek* és csak ki kell választani, hogy melyik üres helyre tesszük be a kezünkben lévő 9 könyvet.

Tehát a polc így nézne ki, ha nem lenne valaki számára egyértelmű:

_||_||_||_||_||_ ...

Hányféleképpen tudjuk kiválasztani, hogy hova kerüljenek a kezünkben lévő könyvek? Gondolom az ábra után már nem kell mondani a megoldást.

Az #1-es válaszoló abból a helytelen feltételezésből indult ki, hogy a már betett könyvek mellé is tehetünk még további könyveket.

* Pontosan egy üres hely van mindegyik könyv mellett és ugye a könyvsor végén és elején is van 1-1 üres hely, hiszen nincsen odaragasztva a könyv a polc széléhez.

#7, te most direkt játszod a hülyéd?

Gyengébbek kedvéért leírtam egy másik feladatot, amiben szerepel a kiválasztás szó (amire te váltig állítod, hogy akkor kiválasztással kell megoldani), nem azt mondtam, hogy a kérdező által írt feladatot értelmezd máshogyan...