Egyenlőtlenség. Tudsz segíteni?

Ránézésre már mondok is egy megoldást: (x;y;z)=(1;1;1)

De mi a konkrét kérdés?

Elvégezve az x -> √3x, y -> √3y, z -> √3z helyettesítést, majd a feltétel alapján a törtek nevezőit átírva az eredetivel ekvivalens alakhoz jutunk:

1 = x² + y² + z²

3√3/2 ≤ x/(1-x²) + y/(1-y²) + z/(1-z²)

A fő észrevétel az, hogy az

f(t) = 1/(t(1-t²))

függvény konvex a ]0,1[ intervallumon és a minimumát t = 1/√3-nál veszi fel, azaz 3√3/2 ≤ f(t).

f konvexitását használva az x, y, z pontokban α=x², β=y², γ=z² súlyokkal adódik, hogy

3√3/2 ≤ f(αx + βy + γz) ≤ αf(x) + βf(y) + γf(z) = x/(1-x²) + y/(1-y²) + z/(1-z²),

ami épp a bizonyítandó állítás.

_____________________

Miért konvex f? Nem kell hozzá kétszer deriválni. Könnyen látható, hogy a t(1-t²) polinom konkáv a ]0,1[-en és pozitív értékű. Egy pozitív értékű konkáv függvény reciproka mindig konvex.

Egy másik megoldás.

Vizsgáljuk a t(3-t²) polinomot a t∈(0,√3) intervallumon. Könnyen látható, hogy maximuma t=1 helyen van, értéke 2, vagyis 2 ≥ t(3-t²) ∀t∈(0,√3)-ra. Ekvivalens átalakítással t/(3-t²) ≥ t²/2 is teljesül ∀t∈(0,√3)-ra. Legyen x,y,z∈(0,√3) olyan, hogy x² + y² + z² = 3. Ekkor alkalmazva az előbbi egyenlőtlenséget: x/(3-x²) + y/(3-y²) + z/(3-z²) ≥ (x² + y² + z²)/2 = 3/2. Amiből x/(y²+z²) + y/(x²+z²) + z/(x²+y²) ≥ 3/2.