Mely pozitív egész a, b, c számokra igaz, hogy ab+ac-bc=2abc?

Az egyenlet szimmetrikus a,b,c-re nézve, azaz ha valamely (a;b;c) megoldás, akkor annak tetszőleges permutációja is megoldás lesz. Ezért feltehető, hogy mondjuk a<=b<=c. Az eredeti egyenlet ekvivalens azzal, hogy 1/a+1/b+1/c=2.

Ha az ismeretlenek között nincs ott az 1-es, akkor az 1/a+1/b+1/c maximális értéke 1/2+1/3+1/4=13/12<2, így ez nem lehet. Tehát, mivel a<=b<=c, ezért a=1.

Ekkor 1/b+1/c=1, azazb+c=bc, tehát (b-1)*(c-1)=1, innen pedig adódik, hogy b-1=1 és c-1=1, azaz b=2 és c=2. Tehát a megoldások (1;2;2) és ezek permutációi.

Más: ha keresel magántanárt, aki tehetségfejlesztéssel foglalkozik, keress meg privátban.

7: Félreolvastam. A negatív előjelet pozitívnak vettem.

Eléggé primitív egy gyökér lehetsz, ha ennyit nem vagy képes felfogni.

Nos, így még egyszerűbb a feladat megoldása.

Osszuk el mindkét oldalt abc-vel (ezt megtehetjük, hiszen a;b;c pozitív egészek)

Kapjuk, hogy 1/c+1/b-1/a=2, azaz 1/c+1/b=2+1/a.

Mivel c;b>=1, ezért 1/c<=1 és 1/b<=1, tehát 1/c+1/b<=2.

Másrészt nyilvánvaló, hogy 2+1/a>2.

Mivel az egyenlet baloldala legfeljebb 2 és a jobboldala nagyobb, mint 2, ezért az egyenletnek nincs megoldása a pozitív egész számok halmazán.