Indukcióban valaki segítene?

Először megnézzük, hogy n=5-re igaz; 32>25, igaz.

Tegyük fel, hogy n-ig igaz, nézzük meg, hogy n+1 esetén mi lesz a helyzet;

2^(n+1) > (n+1)^2

Mindkét oldalon tudunk alakítani:

2 * 2^n > n^2 + 2n + 1

És még egy kicsit (ahogy 2x = x+x, úgy 2*2^n = 2^n+2^n):

2^n + 2^n > n^2 + 2n + 1

Tudjuk, hogy ha a>b és c>d, akkor a+c>b+d. Ha be tudjuk látni ezt az összeg tagjaira valahogy, akkor jók vagyunk.

A 2^n > n^2 az indukciós feltevésünk, szóval kérdés, hogy a 2^n > 2n + 1 igaz-e.

Ha ragaszkodunk a teljes indukcióhoz, akkor ez is belátható azzal; n=5 esetén 32 > 11, tehát igaz. Tegyük fel, hogy az állítás n-ig igaz, nézzük meg n+1-re, hogy mi történik:

2^(n+1) > 2(n+1) + 1, vagyis

2 * 2^n > 2n + 1 + 2, ugyanazt kihasználjuk, mint az előbb:

2^n + 2^n > 2n + 1 + 2

Az indukciós feltevés szerint 2^n > 2n + 1, a 2^n > 2 egyenlőtlenséget pedig hadd ne kelljen már indukcióval belátni.

Innentől ha visszafelé mászunk a bizonyításon, akkor igazolást nyer, hogy ha n>=5, akkor 2^n>n^2 igaz.