András és Béla megtippeltek egy távolságot. Ha András 10%-kal többet mondott volna, pontosan eltalálta volna a távolságot. Ha Béla 10%-kal kevesebbet mondott volna, ő is eltalálta volna. Melyikük tévedett kevesebbet? Indokold!

A tegnapi 20:33-as és 20:36-os válaszok teljesen korrektek, de hátha szabad egy hosszú megjegyzést hozzáfűznöm, legalább érdekességképpen a később kialakult diszkurzushoz kapcsolódóan. (Hátha valaki tud belőle tanulni valamit… Bár tudom, gyakran ez nem célja itt az embereknek.)

> „A tévedés pedig egyértelműen azt jelenti hogy a tipp mennyire tér el a tényleges értéktől.”

Annyi észrevétellel, hogy az eltérés mértékét lehet többféle metrikában is értelmezni. A leggyakoribb valóban az, hogy a különbség abszolút értékét vesszük azaz, ha a tényleges érték X és a tipp pedig Y, akkor a tévedés

Tabsz = |X – Y|.

Viszont gyakran van értelme annak is (legalábbis pozitív X és Y értékek esetén), hogy logaritmikus skálán mérjük a tévedést, ahol

Tlog = |log(X/Y)|,

vagy, dimenziótlan mennyiségek esetén, |log(X) – log(Y)|, ami lényegében azt jelenti, hogy vesszük az X/Y és az Y/X értékek közül az egyik 1-nél nem kisebbet, és annak a nagysága szerint rangsoroljuk a tévedéseket.

Például ha valaki megkérdezi, hogy mekkora a Jupiter átmérője, és András azt mondja, hogy 1 km, Béla pedig azt, hogy 300 000 km, akkor melyikükről gondolnád, hogy több fogalma van a témáról? (Csak mert a Tabsz az Béla esetén nagyobb, több, mint 100 000 km-rel.)

Vagy például ha a Tejútrendszerben található csillagok számát kérdezzük, akkor szinte nincs is nagyon értelme a Tabsz-nak: GyK/12184514

https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomany..

Nagyon elszállt matematikusok nyilván tudnak példát mutatni olyanra is, hogy másmilyen metrika az igazságos, de szerintem legalább ennek a kettőnek a létezését illik észben tartani. Felsőfokon mindenképpen, de egy átlagos érettségizőtől se irreális elvárás, hogy mind a kettőt megértse, ha nem is mindig gondol rájuk.

A 00:33-asban szereplő válaszban mind a kétféle tévedés a Tabsz-szal arányos, csak máshogy van skálázva, szóval az csak olyan, mintha átváltanánk egy másik mértékegységbe a tévedés mértékét.

A tegnapi 19:56-os (azaz az első) válasszal pedig az a baj – mint arra már korábban valaki rámutatott, ha jól láttam (most nem keresem vissza) –, hogy a kérdésben nem az szerepel, hogy András és Béla hány százalékkal mondott többet vagy kevesebbet a tényleges értéknél, hanem az, hogy a tényleges érték hány százalékkal tér el a tippektől. Az előbbi esetben valóban igaz lenne, hogy a Tlog András és Béla esetén azonos, de így nem. Tehát az első válasz valóban hibás, a Tabsz és a Tlog metrikában sem egyformán jó a két tipp. (A megfelelő hányados András esetén 1,1, Béla esetén viszont 1,111… tehát így is, úgy is Béla tévedett nagyobbat.)

> Például ha valaki megkérdezi, hogy mekkora a Jupiter átmérője, és András azt mondja, hogy 1 km, Béla pedig azt, hogy 300 000 km, akkor melyikükről gondolnád, hogy több fogalma van a témáról? (Csak mert a Tabsz az Béla esetén nagyobb, több, mint 100 000 km-rel.)

Igen, ha a kérdés az lett volna, hogy Andrásnak 1000x annyit kellett volna mondania, Bélának meg fele annyit, akkor a kétféle tévedés, a Tlog és a Tabsz (szerintem ez egy nagyon rossz név rá mindegy) mást ad.

BTW #10 rámutatott hogy:

> A tévedés pedig egyértelműen azt jelenti hogy a tipp mennyire tér el a tényleges értéktől.

amit akár el is tudok fogadni, de ha jól látom, neked mindkét definíciód, Tabsz és Tlog szimmetrikus arra, hogy mi a valós érték, és mi a tipp? Ez tök fura.

Amúgy a leggyakoribb "tévedés" vagy "hiba" becsléskor az az, amit írtam, hogy a tényleges értékhez viszonyítunk százalékban. Ez izomorf a Tabsz-szal (=Tabsz/tényleges*100), csak nem szimmetrikus arra, hogy mi a tényleges érték, meg mi a tipp.

> „Tabsz és Tlog szimmetrikus arra, hogy mi a valós érték, és mi a tipp? Ez tök fura.”

Igen, a trükk ott van, hogy a feladatban a kétféle skála van, mert az egyik Y_Andráshoz viszonyít, a másik Y_Bélához. (Azaz András és Béla tippjéhez, amik különbözőek, amire vissza fogok térni.)

> „Ez izomorf a Tabsz-szal (=Tabsz/tényleges*100), csak nem szimmetrikus arra, hogy mi a tényleges érték, meg mi a tipp.”

Hogy más a szimmetriája meg hogy izomorf vele az kicsit ellentmondás, nem?

> „Tabsz (szerintem ez egy nagyon rossz név rá mindegy) mást ad.”

Igen, ebben egyetértek, utólag gondolkoztam is, hogy talán Tid-nek vagy Tprod-nak jobb lenne (lett volna) nevezni, mert az identitás/konstanssal szorzás szerepel a hasában.

És akkor egy harmadik észrevétel a válaszommal kapcsolatban, amire nem figyeltem, hogy nincs benne, mi a logaritmus alapja. Ami azért nem volt fontos, amikor a választ írtam, mert csak egy összehasonlítást akarunk csinálni, és akkor mindegy (mert csak egy szorzó), de az általában fontos, hogy konzekvensek maradjunk. Szóval ez alapján már inkább úgy írnám a definíciókat, hogy

Tprod = |c*X – c*Y|,

ahol c egy adott konstans, gyakran választjuk 1-nek (amikor az abszolút eltérést számoljuk), de gyakori választás a c = 1/X is (ami a relatív eltérés, vagy a relatív hiba abszolút értéke);

és a másiknál

Tlog = |log_c(X) – log_c(Y)| = |log_c(X)/log_c(Y)|,

ahol c ≠ 1 pozitív érték (és – mivel X, és Y mértékegysége ugyanaz – ezért nem okoz gondot a logaritmus hasában, mert a megfelelő azonosság alapján egyszerűsíthetünk vele).

Szóval még egyszer: amikor összehasonlítunk dolgokat, akkor fontos, hogy azonos szabály alapján csináljuk, nem szabad, hogy a c értéke a két tévedés számolásában különböző legyen. A kérdésben a trükk, hogy nem a tényleges értékhez képest adják meg Béla és András tippjét, hanem a tényleges értéket adják meg két különböző dologhoz viszonyítva. András esetén a c az 1/Y_András, Béla esetén pedig 1/Y_Béla.

Végül egy sokadik (aránylag természetes) értelmezés, hogy csak azért is Bélának legyen igaza: Béla tippelt jobban, mert az ő autójából nem fogyott ki a benzin, amikor le akarta vezetni a távot.

(((Egyéb: amikor a relatív hibát adjuk meg, akkor általában nem 100-zal szorzunk, hanem 100 %-kal, ahol a % felfogható egy dimenziótlan mértékegységként: % = 1/100, szóval valójában 1-gyel szorzunk, és ugyanazt az értéket adjuk meg, csak más mértékegységgel. Ami valakiknek valamiért lehet, hogy kényelmesebb, de akkor írják ki a mértékegységet! Ahogy az is mindegy, hogy 25,4 mm vagy 1 in, de fontos jelezni, hogy melyik. – Persze lehet, hogy csak engem zavar, hogy valakik elhagyják a mértékegységeket… Mint ahogy az is lehet, hogy valamiért tényleg a relatív hiba 100-szorosára gondol a költő. De mindegy.)))

Argh… Nem log(X)/log(Y)-t akartam írni…

Tlog = |log_c(X/u) – log_c(Y/u)| = |log_c(X/Y)|,

ahol u = [X] = [Y] (azaz u X-nek és Y-nak egy lehetséges mértékegysége), és c ≠ 1 pozitív.

> Szóval még egyszer: amikor összehasonlítunk dolgokat, akkor fontos, hogy azonos szabály alapján csináljuk, nem szabad, hogy a c értéke a két tévedés számolásában különböző legyen. A kérdésben a trükk, hogy nem a tényleges értékhez képest adják meg Béla és András tippjét, hanem a tényleges értéket adják meg két különböző dologhoz viszonyítva. András esetén a c az 1/Y_András, Béla esetén pedig 1/Y_Béla.

Nem tudom, hogy ennek van-e értelme, formalizálható-e egyáltalán, mi az, amit "nem szabad". Egy tévedés egy számpár. Két tévedés két számpár. Össze akarjuk őket hasonlítani. Ha ugyanarra tippelnek, akkor még azt is tudjuk hogy a két számpárban az "igazi érték" értékek megegyeznek, de mondjuk ez nem szükséges, ha tévedéseket akarunk összehasonlítani.

#1 megadott egy viszonylag gyakori (de sok jó statisztikai tulajdonsággal nem rendelkező) rendezést a tévedéseken: Tabs/Tipp*100% legyárt egy valós számot (akár "tévedés"-nek is nevezhetjük), és ezeket hasonlítja össze.

Na jó, ezt szerintem én már túlbeszéltem.

Akkor kicsit máshogy: a Tprod a konvenció, ha csak nincs explicite jelezve, hogy másról beszélünk, akkor arról beszélünk, és nem kezdünk el random a különböző tippekhez viszonyítani. Ha mégis, akkor azt tisztázni kell az elején.

A Tlog szerintem sok esetben hasznos, és szerintem logikusan is van definiálva, szóval arra elég egy szóval hivatkozni, hogy a 'logaritmikus' eltérés.

Minden más esetben pedig le kell írni vagy hivatkozni kell a definíciót. Persze, szabad máshogy gondolkozni, csak legyen ott érthetően a gondolatmenet. (Ezt a hozzászólást is írhattam volna latinul, nem gondolom, egy bíróság elítélne érte, de nem lett volna érthető. Amikor korábban azt írtam, hogy nem szabad akkor azt a kommunikációs szabályok alapján, és nem a matematikai szabályok alapján gondoltam. Magyarán úgy értettem, hogy ha érthetőek akarunk maradni, akkor nem szabad nagyon eltérni a konvencióktól. Amúgy matematikailag elég liberális vagyok, de nem szeretem, ha utólag találjuk ki a szabályokat, hogy egy tévedésünket magyarázzuk. – És akkor kérdés, hogy szükség van-e erre a magyarázatomra, vagy a többség értette, milyen értelemben használom a „szabad” szót a korábbi válaszomban…)

> „#1 megadott egy viszonylag gyakori (de sok jó statisztikai tulajdonsággal nem rendelkező) rendezést a tévedéseken:”

Valóban vannak szerencsétlen konvenciók a műszaki életben, de szerencsére ezt a viszonylag gyakori _tévedést_ nem tették azzá. :)

Szőrszálhasogatás:

> „Tabs/Tipp*100% legyárt egy valós számot (akár "tévedés"-nek is nevezhetjük), és ezeket hasonlítja össze.”

Itt ugye Tabs alatt nem az én Tabsz-omat (aminek később a Tprod nevet javasoltam) érted, hanem a tényleges értéket, amit én X-szel jelöltem? (És Tipp alatt se valami új dolgot, hanem a tipp értékét, ami nálam Y-nal volt jelöle, ugye?)

Ha X = 1, akkor András tippje Ya = 0,90909…, Béláé pedig Yb = 1,11111…

A valós számod András tippje esetén X/Ya = 1,1.

A valós számod Béla tippje esetén X/Yb = 0,9.

Ezeket összehasonlítva tényleg ugyanolyanok, és döntetlen? Szerintem 1,1 > 0,9, tehát ez alapján András nagyobbat tévedett?