Ez a lényege a deriváltnak?

Nem egészen.

Meredeksége az egyeneseknek (lineáris függvényeknek) van. Egyváltozós függvények esetén a deriválás a függvénygörbe PONTJAIBA HÚZHATÓ ÉRINTŐ EGYENESEK meredekségét adja meg.

Az x^2 pedig nem emelkedik kétszer annyit, nem tudom, hogy ezt a hülyeséget honnan szedted...

"Tehát, hogy megmondja, hogy egy függvény meredekségét adja meg?"

Igen. A meredekség az y irányú változás osztva az x irányú változással. Ami a függvénygörbe érintőjének a szögének a tangense. Rajzold fel.

"És ezért van-e, hogy az x^2 függvény deriváltja 2x...?"

x^2 deriváltja az x ponttól dx távolságra a fentiek szerint a függvényérték változása osztva x változásával:

((x+dx)^2-x^2)/((x+dx)-x)=(x^2+2xdx+dx^2-x^2)/dx=(2xdx+dx^2)dx=2x+dx. Ha dx nagyon kicsi, akkor elhanyagolható.

Ezért 2x az x^2 függvény deriváltja, nem másért.

Az x² esetén van egy szemléletes, geometriai magyarázat is a deriváltra. Tudjuk, hogy egy x oldalhosszúságú négyzet területe x². Ez esetben a derivált azt adja meg, mennyivel nő a négyzet területe, ha az oldalát egy nagyon kicsi, dx mennyiséggel megnöveljük.

Tegyük fel, hogy egy nagyon vékony, dx vastagságú ceruzával húzunk egy-egy vonalat közvetlenül a négyzet jobb oldala mellé ill. alsó oldala alá. Ezáltal megnöveltük a vonal vastagságával, dx-szel a négyzet oldalhosszúságát, és így nyilván a területét is. De mennyivel nőtt a terület?

Nyilván a két húzott vonal területének összegével. És mekkora azok területe?

A szélességük nyilván x, hiszen az eredeti négyzet oldalával azonos hosszúságú vonalakat húztunk. A magasságuk pedig dx, így a területük e kettő szorzata: xdx. A kettőnek együtt meg nyilván 2xdx – ennyivel nő a terület.

Ebből tehát látszik, hogy ha egy x² területű négyzet oldalhosszúságát megnöveljük egy nagyon kicsi értékkel, akkor a területe annak a parányi növekménynek a 2x-szeresével fog arányosan nőni, tehát a változás mértéke 2x lesz – ezt jelenti képletesen a derivált.

#8, remélem, hogy nem tervezel matekos irányban egyetemre menni, mivel ott is csak ezeket a "kalap szar magyarázatokat" fogod kapni, amikor a deriválást tanulod...

Hogy a #7-es válasz mennyire szemléletes, vagy mennyire tetszik neked, az egy dolog, de önmagában ennek semmi köze a deriváláshoz. Ráadásul hibás (pontosabban hiányos) is egy ponton, és kíváncsi vagyok, hogy te vajon észreveszed-e ezt.

Egyébként meg elég nagy bunkóságra és aluliskolázottságra utal, hogy az értelmes válaszokat szarnak nevezed, azokat pedig semmirekellőknek, akiktől segítséget vársz... Ilyen mentalitással nagy jövőt nem jósolok neked, de legalább nem az én bajom.