Hogyan bizonyítsam be ezt az állítást?
Bizonyitsuk be hogy az alábbi egyenlőtlenség fennáll bármely “n>=2” esetén!!
1=1
1/2>1/2^2
1/4>1/3^2
1/8>1/4^2
1/16>1/5^2
2*1/2^n>1/n^2
Próbáltam alkalmazni a q^n formát, de azzal sem jutok megoldásra.
Valaki tud segíteni?
válasza:2^(1-n) > n^(-2)
Esetleg logaritmizálva....?
Igazabol ez a bizonyítás egy feladathoz kell nekem.
Ehhez:
Vizsgáljuk meg hogy korlátos e felülről az alábbi sorozat:
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/n^2
A tagjait felülről próbáltam becsülni.
Ami ugye 2*(1/2)^n re jött ki.
És ekkor csak a 2*(1/2)^n határértéket kellett megvizsgálni ami 2.
De ez a reláció ezek szerint nem áll fennt minden tágra.
Szóval nem jó ez a felülről becslés. Esetleg más megoldás valakitől?
válasza:Ez egy ismert sorösszeg, és a pontos értékét is tudjuk:
Ennek a bizonyítása nem túl egyszerű, a konvergencia bizonyítására pedig nincs hirtelen ötletem.
válasza:Találtam tegnap egy bizonyítást a neten, csak nem jutott el az agyamig a lényege;
A második tagtól kezdve a következőt tudjuk megtenni;
1/2^2 = 1/(2*2) < 1/(2*1)
1/3^2 = 1/(3*3) < 1/(3*2)
1/4^2 = 1/(4*4) < 1/(4*3)
...
1/n^2 = 1/(n*n) < 1/(n*(n-1))
Ha az 1/(n*(n-1)) alakú számok összege konvergens, akko az erdeti is konvergens lesz (lévén az eredeti összeg szigorúan monoton nő, és tudunk neki így mutatni egy felső korlátot). Ez az összeg is egy ismert összeg, szerintem kellett már vele találkoznod, de ha nem, segítek benne.
Én egy ilyen bizonyítást találtam közben a neten:
1/k^2<1/(k^2-k)=1/(k-1)-1/k
k>=2
És így minden tag az első és utolsónak kívül pozitív és negatív előjellel szerepelni fog.
Tehát a legelső 1 az marad úgy ahogy van.
Utána az 1/k^2 tagjai közül az 1 és a -1/n marad.
Tehát 2-1/n<=2.
Bár magától az ember nehezen találna ki ilyen tört “szét szedeses” módszert.
válasza:Ez pont ugyanaz, amit én írtam.
Sokféle megoldási mód lehet egy feladathoz, és soha nem lehet előre tudni, mikor melyik visz eredményre, ezért érdemes minél többféle fajtát ismerni.
További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!