Hány olyan 3 jegyű szám van aminek az összege 5?

500

410

401

104

140

320

230

302

203

311

113

131

122

212

221

Innen menni fog.

A legegyszerűbb megoldása az ilyen feladatoknak, ha húzol három vízszintes vonalat, majd elkezded felírni, hogy milyen megoldások lehetnek. Kezdjünk 1-gyel, a második helyen álljon 0, akkor a harmadik helyen 4-nek kell állnia. Aztán a második számjegy legyen 1, akkor a harmadik helyen 3-nak kell állnia. Ha ezt így folytatod, akkor megkapod, hogy 15 darab szám van:

104

113

122

131

140

203

212

221

230

302

311

320

401

410

500

A felsorolós megoldásoknak nagy hátránya, hogy jó eséllyel vagy olyat is beletesz az ember figyelmetlenségből, amit nem kéne, vagy valamit kihagy, ezért is szokták ritkán elfogadni megoldásnak.

Kombinatorikailag a következőképpen lehet megoldani; legyen 5 karikánk: ooooo, ezek közé valahova tegyünk két elválasztó rudat, például így: oo|o|oo, ebből a sorozatból a 212 számot lehet kiolvasni, és csak ezt olyan logika mentén, hogy az első vonás előtt, a kettő között és a második után hány darab karika van. Ha fordítva csináljuk, akkor is működik a dolog, például a 113 számot a o|o|ooo kódolja, és csak ezt. A 0 számjegyet 3-féle módon tudjuk megkapni;

-ha az első számjegy 0, akkot |-val kezdünk, például |oo|ooo = 023

-ha a középső számjegy 0, akkor a két vonás egymás mellé megy: o||oooo = 104

-ha pedig az utolsó, akkor vonással végződik: oooo|o| = 410

Persze több 0 is lehet, például ooooo|| = 500.

Ahogy a példában látható, úgynevezett kölcsönösen egyértelmű megfeleltés van a számok és a kódok között, vagyis ha a kódokat megszámoljuk, akkor a számokat is. Annyi megkötés van még, hogy háromjegyű szám 0-val nem kezdődhet, ezért a kódunk mindenképp o-val kell, hogy kezdődjön. Innen pedig a maradék 4 o-t és 2 |-t kell ismétlésesen permutálni: 6!/(2!*4!)=15, tehát a 15-ös válaszok mind jók.

Persze ha valaki nem tanult kombinatorikát, akkor lehetnek alternatív megoldási módok, mint például az ágrajzkészítés.

De arra is rájöhetünk, hogy pont annyi módon lehet három számból az összeget 5-ként felírni, mint ahány módon 5-nél kisebb számot vagy az 5-öt felírni két szám összegeként, ugyanis ha az összeg adott, ahhoz egyféleképpen lehet számot hozzáadni, hogy az összeg 5 legyen (illetve ez alól kivétel a 0+5 összeg, mivel akkor a háromjegyű szám 0-val kezdődne), és talán két szám összegeként felírni számokat kicsit könnyebb, mint három összegeként.