Kombinatorika, tudnátok segíteni?

Hányféle módon tudunk egy könyvespolcon elrendezni 4 különböző regényt, 3 különböző matematika könyvet, és 1 biológia könyvet, ha a regényeknek együtt kell lenni, de a többi könyv bármilyen sorrendben lehet?

A megoldás: először tekintsük úgy a 4 regényt, mint egy egységet. Ekkor összesen 5 egységet kell elhelyeznünk a polcon, amit 5! féleképpen tehetünk meg. De mivel a regények egymáson belül is bármilyen sorrendben lehetnek, ezért még szoroznunk kell 4!-tel. Tehát az összes lehetséges elrendezés száma: 5! * 4! = 2880.

Hányféleképpen válaszhatunk ki 11 országot az ENSZ-ben, ha 2-t egy 51 országot tartalmazó csoportból, másik 1-t egy 65 országot tartalmazó csoportból és 8-t pedig a maradék 73 ország közül választhatunk?

A megoldás: az első csoportból C(51;2) féleképpen választhatunk ki két országot. A második csoportból C(65;1) féleképpen választhatunk ki egyet. A harmadik csoportból pedig C(73;8) féleképpen választhatunk ki nyolcat. Ezeket az eseményeket úgy kell összeszoroznunk, hogy minden lehetséges esetet figyelembe vegyünk. Tehát az összes lehetséges kiválasztás száma: C(51;2) * C(65;1) * C(73;8) = (5150/2) * (65) * (7372…66/8!) = 3.1566e+13.

5 -betűs ‘‘szavakat’’ készítünk az A, B, C, D, E, F betűkből. Hányféleképpen tehetjük ezt meg úgy, hogy a második betűnek magánhangzónak kell lenni és a betűk ismétlődhetnek.

A megoldás: először válasszuk ki a második betűt magánhangzók közül (A vagy E), amit 2 féleképpen tehetünk meg. Ezután töltsük fel a többi helyet tetszőleges betűvel (A,B,C,D,E vagy F), amit minden helyre 6 féleképpen tehetünk meg. Mivel ezek független események, ezért összeszorozhatjuk az esetek számát: *2 * 6 * 6 * 6 6 =10368.

Egy édességboltban van cseresznye-, eper-, narancs-, citrom- és ananászcukor ízesítésben cukorka. Hányféleképp vásárolhatunk

(a)32 cukrot?

(b)32 cukrot ha mindegyikből szeretnénk venni?

©32 cukrot úgy hogy legalább négy cseresznyés és legalább három citromos legyen?

A megoldás:

(a) Ez egy ismétléses kombináció feladat:C(32+5-1;5-1) = C(36;4) = 58905.

(b) Ebben az esetben először kiválasztunk mindegyikből egyet-egyet, ami 5 féleképpen lehetséges. Ezután a maradék 27 cukrot osztjuk el az 5 íz között tetszőlegesen, ami egy újabb ismétléses kombináció feladat: C(27+5-1;5-1) = C(31;4) = 31465. Ezeket összeszorozva kapjuk az összes lehetséges eset számát: 5 * 31465 = 157325.

© Ebben az esetben először kiválasztunk négy cseresznyés és három citromos cukrot, ami 1 féleképpen lehetséges. Ezután a maradék 25 cukrot osztjuk el az 5 íz között tetszőlegesen, ami egy újabb ismétléses kombináció feladat: C(25+5-1;5-1) = C(29;4) = 23751. Ezeket összeszorozva kapjuk az összes lehetséges eset számát: 1 * 23751 = 23751.

Ha egy kétoldalú érmét feldobunk 12 alkalommal, akkor annak a valószínűsége, hogy pontosan k db fej van a dobások között:

P(X = k) = b(k;12;0.5) = C(12;k) * 0.5^k * (1-0.5)^(12-k) (k = 0;1;…;12)

Ha legfeljebb 8 fejet szeretnénk kapni, akkor össze kell adnunk az esetek számát k = 0-tól k = 8-ig:

P(X <= 8) = b(0;12;0.5) + b(1;12;0.5) + … + b(8;12;0.5)

Ezt egy számológéppel vagy egy táblázatkezelő programmal könnyen kiszámolhatjuk:

P(X <= 8) = 0.1934 + 0.7743 + 1.5493 + … + 19.2871

P(X <= 8) = 96

Tehát 96 féleképpen lehet legfeljebb 8 fej.

„(b) Ebben az esetben először kiválasztunk mindegyikből egyet-egyet, ami 5 féleképpen lehetséges.”

Ezt a részt kifejtenéd kicsit bővebben?

#3, vagy még egyszerűbb az összesből kivonni a rossz eseteket:

2^12 - (12 alatt a 9) - (12 alatt a 10) - (12 alatt a 11) - (12 alatt a 12). Ennél egy kicsit kevesebbet kell számolni.

P(X = k) = b(k;12;0.7) = C(12;k) * 0.7^k * (1-0.7)^(12-k) (k = 0;1;…;12)

P(X <= 8) = b(0;12;0.7) + b(1;12;0.7) + … + b(8;12;0.7)

Itt a 12 érme jó megoldása, ne hallgass a fenti kamugépre!