Ismétlés nélküli variáció képletébe honnan jön az a +1?

(n-1+1)*(n-2+1)*(n-3+1)*...*(n-t+1)*...*(n-k+1)

A negatív tag a tényezőkben mutatja a tényező sorszámát, és k db tényező van.

Vigyázz! Ez nem az ismétlés nélküli variáció képlete, hanem azok számának a képlete.

Már korábban is kiderült, hogy nem vagy tisztában a fogalmakkal. Nézd meg őket!

Egyrészt azért, mert ha n=k lenne, akkor az ismétlés nélküli permutációhoz jutnánk, és ha a vége (n-k) lenne, akkor 0-val kellene szorozni, pedig akkor az utolsó tényező biztosan 1, és emiatt kell az a +1 oda.

Másrészt van egy könnyen észrevehető logikai kapcsolat; vegyük ezt a szorzatot:

10*9*8*7*6

Ebben a szorzatban az első tényező a 10-es, a második a 9-es, a harmadik a 8-as, a negyedik a 7-es, az ötödik a 6-os. Ha minden esetben összeadjuk a számot a sorszámával, akkor mindig 11-et kapunk. Ez persze nem véletlen, mivel a sorszám mindig 1-gyel nő, míg a tényezők 1-gyel csökkennek. Tehát ha bármikor veszünk egy ilyen szorzatot, akkor ez az összeg mindig állandó lesz; ha az első tényező n, akkor az összeg (n+1) lesz.

Ha a k-adik tényezőt vizsgáljuk, akkor is (n+1)-et kell kapnunk az előbbi összegre, az pedig úgy lehet, hogyha (n+1-k)-t, vagy más sorrendben (n-k+1)-et adunk hozzá, tehát a k-adik szorzótényező az (n-k+1) kell, hogy legyen.

Az #1-re meg ne halgass, jól érted a dolgokat. Más kérdés, hogy esetleg a matematikai precizitás hiányzik néha az általad leírtakból, de te nem doktori disszertációt akarsz írni, csak egy rohadt vizsgán átmenni. Ráadásul a kombinatorika (leszámítva az ismétléses kombinációt) középszintű anyag.

Illetve úgy is lehet bizonyítani, hogyha az ismétlés nélküli variáció képletéből indulunk ki;

V(n;k) = n!/(n-k)!, gondolom ezt ismered.

A törtet tudjuk egyszerűsíteni (n-k>0 esetén), hogyha definíció szerint felírjuk a faktoriálist a számlálóban:

számláló: n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)*(n-k)*...*2*1

Most csinálok egy ilyet:

n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)*[(n-k)*...*2*1]

A szögletes zárójelben pont (n-k)! szerepel, tehát a számlálót fel tudjuk írni így:

n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)*(n-k)! / (n-k)!

Itt pedig (n-k)-val tudunk egyszerűsíteni, így marad az n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1).

Ha pedig n=k akkor a nevezőben 0!=1 van, így a számláló utolsó tényezője 1 kell, hogy legyen, és az előbb kapott (n-k+1) ennek eleget tesz, tehát ebben az esetben is működik a képlet.

Lényegében ahogy #5 írta.

Az ismétlés nélküli variációt vissza lehet vezetni permutációkra: úgy is kiválaszthatjuk a k db elemet, hogy sorbarakjuk mind az n db elemet (n!) és az első k db lesz a kiválasztott.

De ilyenkor a hátulsó n-k db elem sorrendje nem számít, azaz (n-k)! sorrendbe állítás csak 1-1 variációt ad.

Így kapjuk a V(n;k) = n!/(n-k)! képletet. Ebben a törtben az (n-k)-val és az (n-k)-nál kisebb tényezőkkel egyszerűsíthetünk. Így a nagyok közül csak n-k+1-ig maradnak meg a tényezők.

Úgy is kijön a szorzat, hogy amikor az első elemet választod, akkor a halmazban még n elem van. n lehetőség. Minden választás után 1-el kevesebb.

Amikor a k-adikat akarod kiválasztani, DE MÉG NEM TETTED MEG, akkor a halmazban n-k+1 elem van. n-k+1 választási lehetőség. Ezért az utolsó szorzó n-k+1.