Egy focista 0.4 valószínűséggel szerez gólt büntetőből?

[link]

P(n)=(10 alatt n)*0,4^n*0,6^(10-n) (annak valószínűsége, hogy n gólt szerez)

Helyettesíts!

P(4)+P(5)+...+P(10)

vagy

1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)

A legalább 4-nél n helyére 4-től 10-ig beírod a számokat, és a kapott eredményeket összeadod, VAGY 0-tól 3-ig, azokat összeadod, és az eredményt kivonod 1-ből.

Hogy értsd is, miért így kell számolni; minden feladat valahogyan visszavezethető a klasszikus valószínűségi modellre (kedvező/összes); esetünkben képzeljük el például, hogy egy dobozban van 10 golyó, ezekből 4 zöld, a többi piros. Minden rúgás előtt húz a focista egy golyót, majd visszateszi; ha zöldet húz, akkor biztosan betalál, ha pirosat, akkor biztosan nem. Ezzel látható, hogy 0,4 lesz a valószínűsége a találatnak, tehát a feladat érdemben nem változott.

Viszont az átírt feladatban tudunk valószínűséget számolni;

Összes eset: 10^10

Kedvező eset: az a kérdés, hogy hányféleképpeb tud pontosan 4 zöldet és 6 pirosat húzni. Vegyünk egy konkrét húzási sorrendet: ZZZZPPPPPP, ezt a sorrendet 4*4*4*4*6*6*6*6*6*6-féleképpen tudja megtenni, rövidebben 4^4 * 6^6. Ha másik húzási (de ugyanannyi piros-zöldet tartalmazó) sorrendet választunk, akkor ugyanezt a szorzatot fogjuk kapni, csak a tényezők lesznek más sorrendben. A különféle esetekben kapott eredményeket össze kell adnunk, tehát már csak az a kérdés, hogy hány húzási sorrend létezik, erre a válasz (10 alatt 4) (ha ezt a lépést nem érted, bővebben kifejtem). Tehát ennyiszer kellene a 4^4*6^6 szorzatot összeadni, így (10 alatt a 4)*4^4*6^6-féleképpen tud pontosan 4 gólt lőni.

A valószínűség: (10 alatt a 4)*4^4*6^6/10^10. Ez a szorzat algebrailag átalakítható így:

(10 alatt a 4)*0,4^4*0,6^6, amit még egy kicsit átváltoztatva:

(10 alatt a 4)*0,4^4*(1-0,4)^(10-4), és ezzel pont azt az alakot kaptuk, amit egyébként a binomiális eloszlás képletével is kaptunk volna (bár a linkelt oldalon a végképlet hibásan van megadva).

Ugyanezt a gondolatmenetet bármikor elő lehet venni, ha nem vagyunk biztosak a megfelelő képletben.

Itt egy kalkulátor, ami segít:

[link]