Ha n ∈ N, hogyan lehet igazolni [sqrt(n)+sqrt(n+1)]=[sqrt(4n+1)]?

Azt érdemes vizsgálni, hogy az n két egymást követő négyzetszám között hol helyezkedik el, és ekkor mi van a problémában szereplő négyzetgyökök egészrészeivel.

pl.

Ha n=k^2, akkor sqrt(n)=k ...

...

Ha egyenlőek, akkor mindegyikük valami k nemnegatív egész számmal lesznek egyenlőek.

Definíció szerint ha [x]=n, akkor n<=x<n+1. Ezt fogjuk kihasználni.

Mivel mindkét oldal valami k nemnegatív egésszel lesz egyenlő, ezért mindkettőt felírhatjuk a definíciónak megfelelően;

k <= sqrt(n)+sqrt(n+1) < k+1

k <= sqrt(4n+1) < k+1

A második egyenlőtlenséget egy kicsit egyszerűbb rendezni;

k <= sqrt(4n+1) < k+1, négyzetre emelünk:

k^2 <= 4n+1 < k^2+2k+1, kivonunk 1-et:

k^2-1 <= 4n < k^2+2k, osztunk 4-gyel:

(k^2-1)/4 <= n < (k^2+2k)/4

Ha valami ilyesmit kapunk a másikra is, akkor jók vagyunk;

k <= sqrt(n)+sqrt(n+1) < k+1, négyzetre emelünk:

k^2 <= n + 2*sqrt(n*(n+1)) + n+1 < k^2+2k+1, kivonunk 1-et:

k^2-1 <= 2n + 2*sqrt(n(n+1)) < k^2+2k, osztunk 4-gyel:

(k^2-1)/4 <= n+sqrt(n(n+1)) < (k^2+2k)/4

Tehát most azt kell belátnunk, hogy ha (k^2-1)/4 <= n < (k^2+2k)/4 tetszőleges nemnegatív egész n-re igaz, akkor (k^2-1)/4 <= n+sqrt(n(n+1)) < (k^2+2k)/4 is igaznak kell lennie. Az egyenlőtlenség bal oldala, vagyis a (k^2-1)/4 <= n+sqrt(n(n+1)) triviálisan igaz, így már csak a másik oldalt kell belátni;

n+sqrt(n(n+1)) < (k^2+2k)/4, kivonunk n-et:

sqrt(n(n+1)) < (k^2+2k)/4 - n, a jobb oldal biztosan pozitív, így nyugodtan lehet négyzetre emelni:

n(n+1) < ((k^2+2k)/4)^2 - 2*(k^2+2k)/4*n + n^2, kibontjuk a zárójelet:

n^2+n < ((k^2+2k)/4)^2 - 2*(k^2+2k)/4*n + n^2, rendezés után:

n < ((k^2+2k)/4)^2 / (2*(k^2+2k)/4 + 1), az a kérdés, hogy ez minden esetben igaz lesz-e (kiindulva a feltételekből).

Ha van egy kis szerencsénk, akkor ennek a jobb oldala minden k-ra legfeljebb akkora, mint az eredeti egyenlőtlenség, vagyis az n < (k^2+2k)/4 jobb oldala, tehát ha a

(k^2+2k)/4 >= ((k^2+2k)/4)^2 / (2*(k^2+2k)/4 + 1) egyenlőtlenség tetszőleges (nemnegatív) k-ra igaz, akkor készen vagyunk. Vegyük észre, hogy érdemes bevezetni egy másik ismeretlent; legyen (k^2+2k)/4=s, ekkor ezt az egyenlőtlenséget kapjuk:

s >= s^2 / (2s+1), szorzunk a nevezővel:

2s^2+s >= s^2, kivonunk s^2-et:

s^2+s >= 0, ennek megoldása s<-1 vagy s>0. Mivel s=(k^2+2k)/4, és ez láthatóan bármilyen pozitív értéket felvesz, ezért az

n < ((k^2+2k)/4)^2 / (2*(k^2+2k)/4 + 1) < (k^2+2k)/4 szükségszerűen teljesül, vagyis az n < ((k^2+2k)/4)^2 / (2*(k^2+2k)/4 + 1) is igaz lesz, ami azt jelenti, hogy az eredeti két egyenlőtlenség minden esetben egyszerre teljesülni fog.

Én erre jutottam, biztosan van egyszerűbb megoldás is.