Matematika érettségi feladatok?!

4. Egy mértani sorozatban az ötödik és a második elem összege 156, különbsége pedig 168. írd fel a sorozat első három elemét és számold ki az első 8 elem összegét!

a_5 + a_2 = 156

a_5 - a_2 = 168

a_5 = a_1 * q^4

a_2 = a_1 * q

tehát

I. egyenlet: a_1 * q^4 + a_1 * q = 156 = a_1 * q * (q^3 + 1)

II. egyenlet: a_1 * q^4 - a_1 * q = 168 = a_1 * q * (q^3 - 1)

Két egyenlet elosztása egymással

a_1 * q * (q^3 + 1) / a_1 * q * (q^3 - 1) = 156 / 168

(q^3 + 1) / (q^3 - 1) = 13/14

Megoldás q = -3

Ezt behelyettesítve: 156 = a_1 * (-3) * ((-3)^3 + 1) -> a_1 = 2

a_1 = 2

a_2 = -6

a_3 = 18

Összeg képlete: S = a_1 * (q^n-1) / (q-1)

S = 2 * ((-3)^8-1) / (-3-1) = -3280

Összeg: -3280

5. Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 112. a következő három tag összege pedig 14. Melyik ez a sorozat?

a_1 + a_2 + a_3 = 112

a_4 + a_5 + a_6 = 14

a_1 = a_1 * q^0

a_2 = a_1 * q^1

a_3 = a_1 * q^2

a_4 = a_1 * q^3

a_5 = a_1 * q^4

a_6 = a_1 * q^5

I. egyenlet

a_1 + a_1 * q^1 + a_1 * q^2 = 112

a_1 * (1 + q + q^2) = 112

II. egyenlet

a_1 * q^3 + a_1 * q^4 + a_1 * q^5 = 14

a_1 * q^3 * (1 + q + q^2) = 14

Az második és a első egyenlet egymással elosztva

a_1 * q^3 * (1 + q + q^2) / a_1 * (1 + q + q^2) = 14 / 112

q^3 = 14/112

q = 0,5

Behelyettesítve:

a_1 * 0,5^3 * (1 + 0,5 + 0,5^2) = 14 -> a_1 = 64

Tehát a sorozat első tagja 64, kvóciense 0,5

3. Egy 4 méter hosszú futószőnyeget kell felcsavarnunk egy 3 cm átmérőjű hengerre. Átköthető-e 50 cm hosszú zsineggel, ha az 5 mm vastagságú szőnyeget sikerül jó szorosra összetekerni, és a zsinegből 10 cm kell a megkötéshez?

Henger palást hosszúsága a kör kerülete lesz. A kör kerülete K = átmérő * pi = 3 * pi = 9,4 cm

A következő szint esetén mivel 5mm vastag ezért az "átmérő" 3 cm + 5 mm lesz = 3,5 cm lesz már, ekkor a kör kerülete K = 3,5 * pi = 11

Általános kerület képlet, n-edik feltekerésre K = (3 + (n-1)*0,5) * pi

Számtani sorozat képlete S = (a_1 + a_n) / 2 * n

Most 400 = (3*pi + (3 + (n-1)*0,5) * pi)/ 2 * n -> n = 17,7281

Tehát 18 rétegbe fog csak ráférni.

18. rétegnél a kerület K = (3 + 17*0,5) * pi = 36,1283 cm

Mivel 36,1283 cm kisebb mint 50 cm, ezért átköthető.

Mindegyiket megválaszoltam.

Lehet elszámoltam vagy rosszul gondoltam valamit, szóval nézd át te is.